苏教版七年级数学第二章 有理数 知识点及习题

有理数讲义知识点1、什么是正数和负数及正数与负数的意义。2、了解什么是有理数和无理数及会对有理数的分类。3、数轴的三要素是什么、怎么样在数轴上表示有理数和无理数以及怎么利用数轴比较数的大小4、了解一个数的绝对值与相反数的意义，会求已知数的绝对值与相反数以及用绝对值比较两个负数的大小．5、有理数的加法与减法6、有理数的乘法与除法7、有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；用科学记数法表示较大的数．8、有理数的混合运算一、正数与负数在小学里，我们学过正数、负数、零．你知道下边边图片中各数的意义吗？分别说出8844.43、－154、－117.3、－0.102%的意义。正数与负数的意义1、意义：像8848.43、100、357、78这样的数叫做；像－154、－38.87、－117.3、－0.102%这样的数叫做0既不是也不是2、正数与负数的写法及读法“＋”读作“”，如“＋23”读作“”，正号通常省略不写；“－”读作“”，如“－117.3”读作“”．例1指出下列各数中的正数、负数。＋7，－9，13，－4.5，998，9-10，0．正数：负数：应用一、用正数、负数表示相反意义的量0C以上的温度用正数表示，0C以下的温度用负数表示．日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例2（1）如果向北走8km记作＋8km，那么向南走5km记作什么？（2）如果粮库运进粮食3t记作＋3t，那么－4t表示什么？应用二、整数与分数的扩展1、、、统称为整数．2、、统称为分数．例3把下列各数填入相应的集合内：99.9，6，13，0，-101，1+34，1.25，0.01，＋67，10%，513，2009，18．整数集合{}；分数集合{}；正数集合{}；负数集合{}．小试牛刀1．把下列各数填入相应的集合内：31215,7.25,,0,,0.32,452．正数集合{}；负数集合{}．2．填空：（1）如果买入200kg大米记为＋200kg，那么卖出120kg大米可记作__________；（2）如果－50元表示支出50元，那么＋40元表示___________；（3）太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面11034m，它的海拔高度可表示为____________．3．用正数或负数表示下列问题中的数：（1）从同一港口出发，甲船向东航行142km，乙船向西航行142km；（2）从同一车站出发，A车向北行驶50km，B车向南行驶40km；（3）拖拉机加油50L，用去油30L．二、有理数和无理数有理数我们学过整数（正整数、负整数、零）和分数（正分数、负分数）．实际上，所有整数都可以写成分母为1的分数的形式．如55=,144=,100=.1有理数的定义：我们把能写成分数形式mn（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．问一问:有限小数和无限循环小数是有理数吗？根据有理数的定义，有理数可以进行如下的分类正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数或正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数无理数问一问：是不是所有的数都是有理数呢？※如果大正方形的边长为a，那么a2＝2．a是有理数吗？无理数定义:无限不循环小数叫做无理数．3、有理数与无理数区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。小试牛刀1、判断题.(1)无理数都是无限小数.(2)无限小数都是无理数.(3)有理数与无理数的差都是有理数.(4)两个无理数的和是无理数.2、将下列各数填入相应括号内：169.36，，，42，0，-0.33，0.333，1.41421356，－2π，3.3030030003，-3.1415926．正数集合：{}；负数集合：{}；正有理数集合：{}；负有理数集合：{}．3.以下各正方形的边长是无理数的是（）（A）面积为25的正方形；(B)面积为16的正方形；(C)面积为3的正方形；(D)面积为1.44的正方形.三、数轴1、数轴的定义：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．2、数轴的画法：①画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这点称为原点．②规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），向左为负方向．③取适当长度（如1cm）为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3……从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1，－2，－3……按照要求，同步完成画数轴的过程，如下图：数轴三要素为：原点、正方向、单位长度．3、用数轴上的点表示有理数在数轴上，用原点右边且到原点的距离是1.5个单位长度的点表示1.5，用原点左边且到原点的距离是2.4个单位长度的点表示－2.4……例1分别写出数轴上A、B、C表示的数：例2在数轴上画出表示下列各数的点：311.5,3,,1.5,3.52有理数都可以用数轴上的点表示．4、用数轴上的点表示无理数无理数可以用数轴上的点表示吗？例3、面积为2的正方形的边长a是无理数，如何在数轴上画出表示a的点？1．将边长为a的正方形放在数轴上（如图）；2．以原点为圆心，a为半径，用圆规画出数轴上的一个点A．点A就表示无理数a．按要求画出表示a的点，如图．练习怎样用数轴上的点表示圆周率π？1．画一个直径为1的圆片，将圆片上的点A放在原点处；2．把圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达的位置点A′表示的数就是π按要求画出表示π的点，如图．※小结：有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．练一练1、分别写出数轴上A、B、C、D、E表示的数：2、在数轴上画出表示下列各数的点：5.53.5230.5.，，，，5、数轴上的点表示的数的大小关系：例4、在数轴上画出表示0、5、3、2的点，你能比较这几个数的大小吗？如图，画出数轴，并用数轴上的点表示0、5、3、2．－3＜－2＜0＜5※归纳得出：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数．小试牛刀1、比较下列各组数的大小：（1）5和0；（2）102和；（3）2和一3；（4）301.5、、．2、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序连接起来：102351.5.2，，，－，，3、数轴上的点A和B分别表示12－与34－，哪一个点离原点的距离较近？12－与34－哪一个数较大？四、绝对值与相反数1、绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．想一想：小明家在学校正西方3km处，小丽家在学校正东方2km处，他们上学所花的时间与各家到学校的距离有关．你会用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置吗？练一练：你能说出数轴上的点A、B、C、D、E所表示的数的绝对值吗？2、绝对值的表示方法通常，我们将数a的绝对值记为a.这样例1的结论可以写成4＝4，5.3＝3.5※小结：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．练一练1、求下列各数的绝对值：6π32.70.，，，，2、已知一个数的绝对值是25，求这个数3、用数轴上的点表示下列各数，并说出这些数的绝对值：35,,0.4,0,5,2.24、已知一个数的绝对值是2，求这个数.2、相反数的定义：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数．如图，观察数轴上点A、点B的位置及它们到原点的距离，你有什么发现？例1、求3、－4.5、47的相反数．3、利用相反数的意义化简一个数的符号一般的，a的相反数是－a，－a的相反数是a，即－（－a）＝a．表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“－”号．如－5的相反数可以表示为－（－5），而我们知道－5的相反数是5，所以－（－5）＝5．例2化简：－（＋2），－（＋2.7），－（－3），－（－34）．练一练：1．写出下列各数的相反数：0，58，－4，3.14，－23．2．在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点：－4，0.5，3，－2．3．填空：(1))7(是_____的相反数，)7(＝_______；(2))4(是_____的相反数，)4(＝______．4．化简：).5.2(),5.2(),5.2(),5.2(小试牛刀1、根据绝对值与相反数的意义填空：（1）3.2_______，47_________,6_________；（2）5_______，5的相反数是_______，5.10_________，（3）5.10的相反数是_______，47_________，47的相反数是________（4）0_______．2、填空：(1)52的符号是____，绝对值是______；10.5的符号是______，绝对值是______；(2)符号是“＋”号，绝对值是73的数是______符号是“－”号，(3)绝对值是9的数是______；符号是“－”号，绝对值是0.37的数是______．3、用“＜”或“＞”填空：(1)3.1212；(2))75.2()67.2(；(3)}88；(4)4.0)4.0(．五、有理数的加法与减法1、有理数的加法有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数．例1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“2”的位置上．用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示为：算式：________________________练一练计算并注明相应的运算法则：（1）)3()15(；（2）)20()180(；（3）)5(5；（4）)2(0．有理数相加相关规律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(1)上面式中字母a、b、c分别表示任意的一个有理数，在同一个式子中，相同字母只能表示同一个数；(2)加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况．根据有理数加法的运算律，在进行有理数的加法运算时，可以交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加．例2计算：123581722.83.61.53.6255376716（）（－）＋（＋）＋（－）（）（－）＋（－）＋（－）＋（）＋－＋－＋＋2、有理数的减法如果某天最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的日温差记作[5－（－3）]℃，怎样计算[5－（－3）]呢？8)3(5①835②abba)(cbacba）（比较①、②两式，我们发现：－8“减去－3”与“加上＋3”结果是相等的，即35)3(5．小结;减去一个数，等于加上这个数的相反数．有理数减法法则.字母表示：a－b＝a＋(－b)．由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算．小试牛刀1．口答：(1)232(2)040(3)636(4)1391（－）－（－）＝（－）＋（）；－（－）＝＋（　）；（－）－＝（－）＋（）；－（＋）＝＋（）．2．计算：(1)(3)(2)＋－－；(2)(1)(2)－－＋；(3)0(3)－－；(4)15－；(5)(23)(12)－－－；(6)(1.3)2.6－－；(7)21()32－－；(8)11()()62－－－．（9）（－8）－（－10）＋（－6）－（＋4），3．填空：（1）温度3℃比－8℃高______；（2）温度－9℃比－1℃低______；（3）海拔－20m比－30m高______；（4）从海拔22m到－10m，下降了______六、有理数的乘法与除法有理数的乘法有理数的乘法规则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘