2011考研数二真题及解析

Borntowin2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)已知当0x时，3sinsin3fxxx与kcx是等价无穷小，则()(A)1,4kc．(B)1,4kc．(C)3,4kc．(D)3,4kc．(2)已知fx在0x处可导，且00f，则23302limxxfxfxx=()(A)20f．(B)0f．(C)0f．(D)0．(3)函数()ln(1)(2)(3)fxxxx的驻点个数为()(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(4)微分方程2(0)xxyyee的特解形式为()(A)()xxaee．(B)()xxaxee．(C)()xxxaebe．(D)2()xxxaebe．(5)设函数(),()fxgx均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,fg且(0)(0)0fg，则函数()()zfxgy在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)(0)0,(0)0.fg(B)(0)0,(0)0.fg(C)(0)0,(0)0.fg(D)(0)0,(0)0.fg(6)设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,,IJK的大小关系是()(A)IJK．(B)IKJ．(C)JIK．(D)KJI．(7)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A()(A)12PP．(B)112PP．(C)21PP．(D)121PP．Borntowin(8)设1234(,,,)A是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax的一个基础解系，则*0Ax的基础解系可为()(A)13,．(B)12,．(C)123,,．(D)234,,．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)1012lim()2xxx．(10)微分方程'cosxyyex满足条件(0)0y的解为．(11)曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s．(12)设函数,0,()0,0,0,xexfxx则()xfxdx．(13)设平面区域D由直线,yx圆222xyy及y轴围成，则二重积分Dxyd．(14)二次型222123123121323(,,)3222fxxxxxxxxxxxx，则f的正惯性指数为．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)已知函数20ln(1)()xatdtFxx，设0lim()lim()0,xxFxFx试求a的取值范围．(16)(本题满分11分)设函数()yyx由参数方程3311,3311,33xttytt确定，求()yyx的极值和曲线()yyx的凹凸区间及拐点．(17)(本题满分9分)设函数(,())zfxyygx，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()gx可导且在1xBorntowin1211112Oyx222xyy221xy处取得极值(1)1g，求211xyzxy．(18)(本题满分10分)设函数()yx具有二阶导数，且曲线:()lyyx与直线yx相切于原点，记为曲线l在点(,)xy处切线的倾角，若,ddydxdx求()yx的表达式．(19)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n，都有111ln(1)1nnn成立．(II)设111ln(1,2,)2nannn，证明数列na收敛．(20)(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2xyyy与2211()2xyy连接而成的．(I)求容器的容积；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为2/gms，水的密度为3310/kgm)．图１(21)(本题满分11分)已知函数(,)fxy具有二阶连续偏导数，且(1,)0fy，(,1)0fx，(,)Dfxydxdya，其中(,)|01,01Dxyxy，计算二重积分(,)xyDIxyfxydxdy．(22)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTT，不能由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,)Ta线性表示．(I)求a的值；(II)将123,,由123,,线性表示．(23)(本题满分11分)BorntowinA为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即2rA，且111100001111A．(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)【答案】(C)．【解析】因为03sinsin3limkxxxcx03sinsincos2cossin2limkxxxxxxcx20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx304lim1kxcx．所以4,3ck，故答案选(C)．Borntowin(2)【答案】(B)．【解析】23302limxxfxfxx223300220limxxfxxffxfx33000lim2xfxffxfxx0200fff．故答案选(B)．(3)【答案】(C)．【解析】()ln1ln2ln3fxxxx111'()123fxxxx231211(1)(2)(3)xxxxx令'()0fx，得1,2633x，故()fx有两个不同的驻点．(4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r，解得特征根12rr,．所以非齐次方程2xyye有特解1xyxae,非齐次方程2xyye有特解2xyxbe，故由微分方程解的结构可知非齐次方程2xxyyee可设特解().xxyxaebe(5)【答案】(A)．【解析】由题意有()()zfxgyx，()()zfxgyy所以，0,0(0)(0)0zfgx，0,0(0)(0)0zfgy，即0,0点是可能的极值点．Borntowin又因为22()()zfxgyx，2()()zfxgyxy，22()()zgyfxy，所以，2(0,0)2|(0)(0)zAfgx，2(0,0)|(0)(0)0zBfgxy，2(0,0)2|(0)(0)zCfgy，根据题意由0,0为极小值点，可得20,ACBAC且(0)(0)0Afg，所以有(0)(0)0.Cfg由题意(0)0,(0)0fg，所以(0)0,(0)0fg，故选(A)．(6)【答案】(B)．【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，又因lnx是单调递增的函数，所以lnsinlncoslncotxxx．故正确答案为(B)．(7)【答案】(D)．【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故100110001AB，即1APB，11ABP．由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010BE，即2,PBE故122BPP．因此，121APP，故选(D)．(8)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()413rA，即130，且0A．由此可得*||AAAEO，即*1234(,,,)AO，这说明1234,,,是*0Ax的解．由于()3rA，130，所以234,,线性无关．又由于()3rA，所以*()1rA，因此*0Ax的基础解系中含有413个线性无关的解向量．而234,,线Borntowin性无关，且为*0Ax的解，所以234,,可作为*0Ax的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)【答案】2．【解析】原式=0121lim(1)2xxxe00212ln21limlimln22222xxxxxeee．(10)【答案】sinxyex．【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeexedxC(cos)xexdxC(sin)xexC．由于(0)0,y故C=0．所以sinxyex．(11)【解析】选取x为参数，则弧微元2211tansecdsydxxdxxdx所以4400seclnsectanln(12)sxdxxx．(12)【答案】1．【解析】原式00xxxedxxde0001lim0xxxxxxxeedxee01111limlimxxxxeee．(13)【答案】712．【解析】原式2sin2sin3220044cossincossindrrrdrrdrdr4241sincos16sin4d5522444cossin4sinsindd66447sin612．(14)【答案】2．Borntowin【解析】方法1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型f对应矩阵为111131111A．111000131131132111111112EA321412，故1230,1,4．因此f的正惯性指数为2．方法2：f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．222123123121323,,3222fxxxxxxxxxxxx2222212322332323232xxxxxxxxxxx2212322xxxx，令11232233,,,yxxxyxyx则2212