圆锥曲线难题集锦(共75题)

冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1圆锥曲线难题集锦徐荣先汇编1.如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．2.已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功23.已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4.已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功35.已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．6.已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功47.已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；（2）当的面积等于时，求的值．8.已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功59.如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．10.已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功611.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由．12.已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功713.设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．14.在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功815.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．16.己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功917.已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．18.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，．求直线的斜率．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1019.已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．20.左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1121.已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．22.已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1223.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．24.过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1325.如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．26.如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1427.已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．28.已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1529.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．30.如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1631.已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．32.已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若，求实数的取值范围．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1733.已知点100(,)Pxy为双曲线22221(8xybbb为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2FA并延长交y轴于点2P．（1）求线段12PP的中点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E与x轴交于B，D两点，在E上任取一点Q111()(0)xyy，，直线QB，QD分别交于y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．34.如图，已知圆G：222(2)xyr是椭圆2216xy=1的内接ABC△的内切圆，其中A为椭圆的左顶点．（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．yxOAPP1P2F1F2yxOCBFGAME冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1835.设点00(,)Pxy在直线(01)xmymm，上，过点P作双曲线221xy的两条切线,PAPB，切点为,AB，定点10Mm，．（1）过点A作直线0xy的垂线，垂足为N，试求AMN△的垂心G所在的曲线方程；（2）求证：AMB、、三点共线．36.作斜率为13的直线l与椭圆22:1364xyC交于,AB两点（如图所示），且(32,2)P在直线l的左上方.（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60oAPB，求PAB的面积.yxABMPNx=mOAxyOPB冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功1937.如图，椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于1C的长半轴长.（1）求1C，2C的方程；（2）设2C与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与2C相交于点A,B，直线MA,MB分别与1C相交与,DE.①证明：MDME；②记MAB,MDE的面积分别是1S，2S.问：是否存在直线l,使得121732SS？请说明理由.38.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.（1）证明：点F在直线BD上；（2）设89FAFB，求BDK的内切圆M的方程.冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功2039.(,)()oooPxyxa是双曲线2222:1(0,0)xyEabab上一点，,MN分别是双曲线E的左、右顶点，直线,PMPN的斜率之积为15.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,AB两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OCOAOB，求的值.40.已知以原点O为中心，(5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率52e.（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)Mxy的直线1l：1144xxyy与过点22(,)Nxy（其中21xx）的直线2l：2244xxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积．Ol2yGMNExl1冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功2141.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc，，2(0)Fc，．已知(1)e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,AB是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值．42.如图，椭圆C：2222+1xyab(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功2243.设A是单位圆221xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)DMmDAmm且.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的0k，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.44.冰冻三尺非一日之寒，为山九仞岂一日之功23