(浙江专用)版高考数学大一轮复习-第九章-平面解析几何-9.5-椭圆课件

§9.5椭圆基础知识自主学习课时训练题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做.这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集.知识梳理椭圆焦点焦距aca＝cac2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤ax2a2＋y2b2y2a2＋x2b2性质对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系__________2a2b2ccaa2＝b2＋c2知识拓展点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()××思考辨析√√×√(5)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.()(6)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等.()考点自测1.(教材改编)椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于A.4B.8C.4或8D.12答案解析由题意知10－mm－20，10－m－m－2＝4或m－210－m0，m－2－10－m＝4，解得m＝4或m＝8.2.(2015·广东)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于A.2B.3C.4D.9由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m0，所以m＝3.答案解析3.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为14A.13B.12C.23D.34答案解析如图，由题意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝14×2b＝12b.在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·12b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝ca＝12，故选B.4.(教材改编)已知点P是椭圆＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_______________________.答案解析x25＋y24152，1或152，－1题型分类深度剖析题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1(2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.答案解析A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_____________________.答案解析x29＋y2＝1或y281＋x29＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为__________.632x29＋y23＝1则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n).∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.答案解析命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题例3已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝____.3答案解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，又∵＝12r1r2＝b2＝9，∴b＝3.21PFFS△引申探究1.在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程.解答故椭圆方程为x225＋y29＝1.由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，2.在例3中条件“PF1→⊥PF2→”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“＝33”，结果如何？所以|PF1||PF2|＝43b2，|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，又因为＝12|PF1||PF2|·sin60°＝12×43b2×32＝33b2＝33，所以b＝3.解答21PFFS△21PFFS△(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式.(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等.思维升华跟踪训练1(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为答案解析A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝168＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2017·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·PF2→＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是A.4B.3C.2D.1∵(OP→＋OF2→)·PF2→＝(OP→＋F1O→)·PF2→＝F1P→·PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴＝12mn＝1.答案解析21FPFS△题型二椭圆的几何性质例4(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是答案解析|PF1→＋PF2→|A.0B.1C.2D.22∵点P在椭圆上，∴0≤≤1，设P(x0，y0)，则PF1→＝(－1－x0，－y0)，PF2→＝(1－x0，－y0)，∴PF1→＋PF2→＝(－2x0，－2y0)，∴|PF1→＋PF2→|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2.∴当y20＝1时，|PF1→＋PF2→|取最小值2.故选C.y20(2)(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为答案解析设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2a－c，又B，D，M三点共线，所以m2a－c＝ma＋c，a＝3c，e＝13.x2a2＋y2b2A.13B.12C.23D.34(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.思维升华跟踪训练2(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是____.x2a2＋y2b2b263答案解析题型三直线与椭圆例5(2016·天津)设椭圆x2a2＋y23＝1(a3)的右焦点为F，右顶点为A.已知1|OF|＋1|OA|＝3e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；设F(c,0)，由1|OF|＋1|OA|＝3e|FA|，即1c＋1a＝3caa－c，可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.解答(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率.解答(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.思维升华(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.(1)求椭圆C的方程；跟踪训练(2016·温州第一次适应性测试)如图，3已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点(1，62)，且离心率等于22.点A，B分别为椭圆C的左，右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且△OMN的面积等于2.解答由题意得1a2＋622b2＝1，e＝ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝2.故椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON.证明离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.高考中求椭圆的离心