2020高一数学新教材必修1教案学案-专题3.4-函数的应用(一)(解析版)

13.4函数的应用（一）运用一一次函数模型【例1】夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是A．1800米B．1700米C．1600米D．1500米【答案】B【解析】设山的相对高度为x，单位为百米，相应的温度为y，单位为℃，则0.726yx，令14.1y，解得17x，所以山的相对高度为1700米.【触类旁通】1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.思维导图躬行实践2方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【答案】见解析【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为𝑦1，依方案二的利润为𝑦2，由题意知𝑦1=(50−25)𝑥−2×0.5𝑥−30000=24𝑥−30000，𝑦2=(50−25)𝑥−14×0.5𝑥=18𝑥.（1）当𝑥=3000时，𝑦1=42000，𝑦2=54000，因为𝑦1𝑦2，所以应选择方案二处理污水.（2）当𝑥=6000时，𝑦1=114000，𝑦2=108000，因为𝑦1𝑦2，所以应选择方案一处理污水.运用二二次函数模型【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020x时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当2000x时，求函数)(xv的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(xvxxf可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由题意，当020x时，()60vx；当20200x时，设()vxaxb．3再由已知得20002060abab，解得132003ab.故函数()vx的表达式为60,020()1(200),202003xvxxx.（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020()1(200),202003xxfxxxx.当020x时，()fx为增函数，故当20x时，()fx在区间[0,20]上取得最大值60201200.当20200x时，2111000010000()(200)(100)3333fxxxx，当且仅当100x时，等号成立.所以，当100x时，()fx在区间(20,200]上取得最大值100003．综上，当100x时，()fx在区间[0,200]上取得最大值1000033333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．【触类旁通】2．（2019·福建龙海二中高二期末（理））李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为2590016000Lxx甲，3002000Lx乙(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为______元．【答案】33000【解析】依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这家销售了110x辆电动车，总总利润2259001600030011020005600150000Sxxxxxx，所以，当60x时，S取得最大值，且max33000S，故答案为：33000.4运用三分段函数模型【例3】大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝21400,0400280000,400xxxx剟，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．【答案】300【解析】由题意，总利润y＝2140010020000,0400260000100,400xxxxxx剟当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，ymax＝25000；当x400时，y＝60000－100x20000.综上，当x＝300天时，总利润最大．【触类旁通】1．某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．（1）求函数yfx的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】（1）250115,36,368115,620,xxxZfxxxxxZ；（2）当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．5【解析】（1）当6x时，50115yx，令501150x，解得2.3x，x是整数，36x，xZ；当6x时，25036115368115yxxxx，令23681150xx，有23681150xx，结合x为整数得620x，xZ.250115,36,368115,620,xxxZfxxxxxZ；（2）对于5011536,yxxxZ，显然当6x时，max185y；对于22348113681153620,33yxxxxxZ，当11x时，max270y.270185Q，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．运用四分式函数模型【例4】（2019·重庆高一期末）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（0m）满足31kxm（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）16281ymm；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】（1）由题意可知，当0m时，1x（万件），所以13-k，所以2k，所以231xm，每件产品的销售价格为8161.5xx（万元），所以年利润816161.581648281xyxxmxmmxm所以16281ymm，其中0m.（2）因为0m时，16181mm，即1671mm6所以28721y，当且仅当1611mm，即3m（万元）时，max21y（万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【触类旁通】1．（2019·安徽六安一中高二期末）某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足24xm（其中0xa，a为正常数）。已知生产该产品还需投入成本1612mm万元（不含促销费用），产品的销售价格定为304m元/件。（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？【答案】（1）31629(0)2yxxax（2）当4a时，利润最大值为17万元，当4a时，最大利润316292aa万元【解析】（1）3014612ymxmmm，将24xm代入2123064xyxxx1432642xx324292xx31629(0)2xxax（2）令16()gxxx，()gx在(0,4)单减，(4,)单增min()(4)8gxg∴当4a时，利润最大值为17万元7当4a时，最大利润316292aa万元1．（2018·河北省隆化存瑞中学高一月考）旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为（）A．12000元B．15000元C．12500元D．20000元【答案】B【解析】设旅游团的人数为x，每张机票为y元，该旅行社可获得利润为W元，当020x时，800y，80010000Wx，显然当20x=时，W有最大值，最大值为max6000W；当2075x„时，80010(20)101000yxx，2(101000)1000010100010000Wxxxx210(50)15000x，显然当50x时，W有最大值，最大值为max15000W，故本题选B.2．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族𝑆中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当𝑆中𝑥%（0𝑥100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为𝑓(𝑥)={30,0𝑥≤302𝑥+1800𝑥−90,30𝑥100（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受𝑥影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当𝑥在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族𝑆的人均通勤时间𝑔(𝑥)的表达式；讨论𝑔(𝑥)的单调性，并说明其实际意义.【答案】（1）(45,100)；（2）见解析.【解析】（1）由题意知，当30𝑥100时，令𝑓(𝑥)=2𝑥+1800𝑥−9040，化简得𝑥2−65𝑥+9000，解得𝑥20或𝑥45.因此，当𝑥∈(45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0𝑥≤30时，𝑔(𝑥)=30⋅𝑥%+40(1−𝑥%)=40−𝑥10；当30𝑥100时，𝑔(𝑥)=(2𝑥+1800𝑥−90)⋅𝑥%+40(1−𝑥%)=𝑥250−1310𝑥+58.融会贯通8∴𝑔(𝑥)={40−𝑥10,0𝑥≤30𝑥250−1310𝑥+58,30𝑥100.当0𝑥≤30时，函数𝑔(𝑥)单调递减；当30𝑥≤32.5时，函数𝑔(𝑥)单调递减；当32.5𝑥100时，函数𝑔(𝑥)单调递增.说明该地上班族𝑆中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时