画法几何之平面的投影基本知识

2.2.3平面及平面曲线的投影本节提要：（1）平面的表示法（2）平面对投影面的各种相对位置（3）平面上的点、直线（4）平面上的曲线和图形（自学）1、平面的表示法平面常以确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示。aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1）不在一直线上的三个点；（3）相交两直线；（2）一直线和直线外一点；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。2、平面对投影面的各种相对位置平面一般位置平面：对三个投影面H、V、W都倾斜投影面垂直面（只垂直于一个投影面）铅垂面（⊥H面，对V、W面都倾斜）正垂面（⊥V面，对H、W面都倾斜）侧垂面（⊥W面，对H、V面都倾斜）投影面平行面（平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面）水平面（∥H面，⊥V面，⊥W面）正平面（∥V面，⊥H面，⊥W面）侧平面（∥W面，⊥H面，⊥V面）其中投影面垂直面、投影面平行面统称为特殊位置平面直线一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜投影面平行线（只平行于一个投影面）水平线（∥H面，对V、W面都倾斜）正平线（∥V面，对H、W面都倾斜）侧平线（∥W面，对H、V面都倾斜）投影面垂直线（垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面）铅垂线（⊥H面，∥V面，∥W面）正垂线（⊥V面，∥H面，∥W面）侧垂线（⊥W面，∥H面，∥V面）平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。特殊位置直线两个平面之间的夹角：就是两平面之间的两面角，可用与两平面都垂直的平面和它们相交所得到的两相交线之间的平面角表示。平面与水平面H、正面V、侧面W的夹角，称为该平面对投影面H、V、W的倾角，仍用α、β、γ表示。RQPαOBA倾角=0°，平面平行于投影面=90°，平面垂直于投影面=0~90°，平面倾斜于投影面H平面图形的投影特性：①当平面图形倾斜于投影面时，投影为面积缩小的类似形（或称相仿形，可能一边为真长，另两边短于真长）；②当平面图形垂直于投影面时，积聚成直线；③当平面图形平行于投影面时，投影反映真形（三条边反映真长）。ABCDEFabcdefGHIghi（1）一般位置平面一般位置的平面图形的投影特性：三个投影面的投影均为面积缩小的类似形。AXYZOBCaa'bcb'c'acbaa'bcb'c'acbXOYWYHZ1）铅垂面—垂直于水平投影面(3)abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小。PABCa'b'c'acb铅垂面bacYWXZOYH投影特性：(1)abc积聚为一条直线。(2)abc、abc为ABC的类似形。abc（2）投影面垂直面QACB2）正垂面—垂直于正立投影面(3)abc与OX、OZ的夹角反映、角的真实大小。正垂面投影特性：(1)abc积聚为一条直线。(2)abc、abc为ABC的类似形。cabbaca'b'c'bacYWXZOYH（2）投影面垂直面3）侧垂面—垂直于侧立投影面(3)abc与OY、OZ的夹角反映、角的真实大小。侧垂面投影特性：(1)abc积聚为一条直线。(2)abc、abc为ABC的类似形。SCABabca'b'c'bacabcYWXZOYH（2）投影面垂直面（2）投影面垂直面汇总投影面垂直面的投影特性：①在垂直的投影面上的投影，积聚成直线，并反映与另两投影面的倾角；②在另两投影面上的投影，为面积缩小的类似性。XVHZWYO平面P与投影面的交线称为平面的迹线，用平面名称的大写字母加投影面名称字母的下标标注。平面与投影面H、V和W的交线分别称为平面的水平迹线、正面迹线和侧面迹线。迹线的符号用PH、PV和PW表示。PHPVPWPVW投影面垂直面有积聚性，在这个投影面上的所有点、线和图形都积聚在它的有积聚性的迹线上，且这条迹线一定倾斜于投影轴。ABCacbQHDd可以用投影面垂直面的一条有积聚性的迹线表示这个投影面垂直面。QHaa'aOXYWYH铅垂面的正面迹线可以表示这个铅垂面。正垂面的正面迹线可以表示这个正垂面。dd'dOXYWYHRV侧垂面的侧面迹线可以表示这个侧垂面。dd'dOXYWYHSW1）水平面—平行于水平投影面水平面投影特性：(1)abc、abc积聚为一条直线。(2)水平投影abc反映ABC实形。CABa'b'c'abccababcabcYWXZOYHa'b'c'（3）投影面平行面a'b'c'CBA2）正平面—平行于正立投影面正平面投影特性：(1)abc、abc积聚为一条直线。(2)正面投影abc反映ABC实形。bacabcbacYWXZOYHa'b'c'bca（3）投影面平行面3）侧平面—平行于侧立投影面侧平面投影特性：(1)abc、abc积聚为一条直线。(2)侧面投影abc反映ABC实形。CABa'b'c'acbbacbacYWXZOYHa'b'c'bac（3）投影面平行面（3）投影面平行面汇总投影面平行面的投影特性：①在平行的投影面上的投影，反映真形。②在另两投影面上的投影，分别积聚成直线，且平行于相应的投影轴。投影面平行面必定垂直于另两个投影面，在另两个投影面上的投影有积聚性。可以用一条或两条有积聚性的迹线表示这个投影面平行面。3、平面上的点、直线（1）平面上的点和直线的几何条件、投影特性平面上的点和直线的几何条件是：①平面上的点，必在该平面的一条直线上；反之，若点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。XOaba'b'cc'HABCMNn'mnm'②平面上的直线，必通过平面上的两点，反之，若经过平面上任意两点的直线必在该平面上。HABCMNXOaba'b'cc'n'mnm'③通过平面上的一点，且平行于平面上的另一条直线的直线必在该平面上。HABCNXOnn'Mcc'aba'b'mm'④特殊位置平面上的点和直线的检验和作图，常用它的有积聚性的投影或迹线。如图点D的水平投影d位于正平面△ABC的有积聚性的水平投影abc上，故而点D是正平面ABC上的点。直线EF的水平投影位于铅垂面P的有积聚性的迹线PH上，故而EF是铅垂面P上的直线。XOabca'b'c'd'ddXOPHe'f'ef一般位置平面上的点和直线的检验和作图，常用上述几何条件。④直线DF通过平面ABC上的点D，且平行于平面ABC上的另一直线BC，所以，DF也是平面ABC上的直线①点D、E分别在直线AB、BC上②点D、E都是平面ABC上的点③DE是平面ABC上的直线b'a'abcOc'Xf'fd'dee'先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●平面上取点的方法：首先面上取线②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解[例2.11]如图所示，已知正垂面△ABC、点D和E、直线DE的投影图，检验点D、E和直线DE是否在△ABC平面上。OXabcdea'b'd'e'c'结论：点D在△ABC平面上，点E和直线DE不在△ABC平面上。OXabcda'b'c'd'e'f'[例2.12]如图所示，已知△ABC和点D的两面投影，以及△ABC平面上的直线EF的正面投影e'f'，检验点D是否在△ABC平面上，并作出直线EF的水平投影ef。11'OXabcda'b'c'd'e'f'2'3'23ef[例2.13]如图所示，已知点A、B和直线CD的两面投影，求作过点A的正平面，过点B的与水平面的倾角为45°的正垂面，过直线CD的铅垂面，并分别说明各有几解。OXa'b'c'd'abcdPHQVRV45°45°TH一解两解一解OXa'b'c'abc[例2.14]如图所示，已知△ABC，在△ABC平面上取一点D，点D在H面之上15mm，在V面之前10mm，作出点D的两面投影。OXa'b'c'abc151'2'1210dd'HPHC(c)D(d)ABPaαα1平面上对某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对某一投影面的最大倾斜线。平面上对某一投影面的最大倾斜线是与平面上的该投影面的平行线(AB)相垂直的直线(有无数条)。明显的α1α。最大倾斜线是与AC相平行的一系列直线。投影面最大倾斜线与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。4、平面上的曲线和图形曲线可以看作是不断改变方向的点的连续运动的轨迹。曲线的投影是曲线上诸点的投影的集合曲线平面曲线：所有的点都位于同一平面上的曲线，如圆空间曲线：连续四点不在同一平面上的曲线，如圆柱螺旋线平面曲线中圆在工程上应用最广，本文主要阐述圆的投影特性及画法。（1）平面曲线及其投影特性①曲线所在的平面平行于投影面时，在该投影面上的投影反映真形；平面曲线对投影面有三种不同的相对位置，分别具有不同的投影特性：②曲线所在的平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影成为一直线段；③曲线所在的平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影成为形状缩小的类似形。[例2.15]如图所示，已知△PQR及平面内的平面曲线AE的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。b1cd2345f1'2'3'4'5'f'b'c'd'a'e'（2）圆及其投影特性正平圆的投影特性：①V面上的投影反映真形；②H面、W面上的投影为直线，并分别平行于OX轴和OZ轴，长度等于直径，中点是圆心C的投影c、c。XOZYHYWcc'c铅垂圆的投影长轴：铅垂直径CD的投影c'd'=D短轴：水平直径AB的投影a'b'=Dcosβ铅垂圆的投影特性：①水平面上的投影成直线，该直线反映圆平面对V面的夹角β，长度等于直径，中点是圆心C的投影c。②正面上的投影为一椭圆，长轴是这个铅垂圆的唯一一条铅垂直径的正面投影，且反映真长，短轴是这个圆平面上与铅垂直径相垂直的直径，长短轴的交点是椭圆的中心，也是圆心的投影。铅垂圆的两面投影及其作图过程b'a'OXdacbeβe'c'd'从上述可归纳出圆的投影特性：①在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。②在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线，长度等于圆的直径，中点是圆心的投影。③在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆：椭圆的中心是圆心的投影；长轴是平行于这个投影面的直径的投影，且反映真长；短轴是平行于投影面的直径相垂直的直径的投影。（3）平面上的图形作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。YWXaa'b'c'OZYH[例2.21]如图所示，平面P为侧垂面，与H面的倾角α为60°，又知平面P上的△ABC的正面投影△a'b'c'和点A的水平投影a、点B在点A的前下方，补全△ABC的水平投影，作出它的侧面投影。dd'dOXYWYHSWYWXaa'b'c'OZYHaPwbbcc60°作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。[例2.16]如图所示，平面P为侧垂面，与H面的倾角α为60°，又知平面P上的△ABC的正面投影△a'b'c'和点A的水平投影a、点B在点A的前下方，补全△ABC的水平投影，作出它的侧面投影。（3）平面上的图形OXabcdea'b'c'[例2.17]如图所示，已知平面五边形ABCDE的水平投影abcde以及两边AB、BC的正面投影a'b'、b'c'，补全ABCDE的正面投影。OXabcdea'b'c'121'2'd'e'例：已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V投影a'b'c'，试完成其V投影。e'ed'c'cbab'a'dXObckadadbcadadbckbc例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二Oa'b'baXe'f'efk'j'kj[例2.18]如图所示，已知正方形ABCD的左下边AB，正方形ABCD与H面的倾角α为45°；已知处于正平面位置的正方形EFGH的顶边EF；已知一般位置的正方形IJKL的右前边JK，正方形IJKL的上、下边KL、IJ为水平线。分别补全这三个正方形ABCD、EFGH、IJKL的两面投影。[例2.18]如图所