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数轴上的运动问题在讲这个问题之前,我们先来看一道行程问题。【题1】甲乙两地相距200米,小明从甲地步行到乙地,用时3分钟,小明的平均速度为多少米每秒?【分析】这个问题的本质,就是把实际生活中的问题剥离出来,抽象成了简单的数学问题,很多学生都会解;初学时,老师会画线段图,用线段的长度来将两点间的距离具象化,如下:小明甲地乙地【解法一】直接利用:速度=路程÷时间解决。20018010(米/秒)9【解法二】用方程解。设速度为x米/秒,根据路程=时间×速度,得:200180x,解得x10。9如果在线段图上,用一个具体的数来表示甲地和乙地,从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴,这个问题就转化为数轴上的运动问题了。【题2】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止。设运动时间为t。(1)用含t的代数式表示电子蚂蚁P运动的距离;(2)用含t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数;(3)用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。(4)当电子蚂蚁运动多少时间后,点P为线段AB的三等分点?【分析】引入数轴后,其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线,将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以,对于运动的点,处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离,利用数轴上两点间距离公式解决。(1)根据路程=速度×时间,有:APt;(2)APt,故点P表示的数为t;(3)点B表示的数为200,点P表示的数为t,且P在B左边,故PB200t。(4)若P为AB的三等分点,有两种情况:①AP=2PB,即:t2200t,解得t400秒;3②2AP=PB,即:2t200t,解得t200秒;3现在,我们将【题2】一般化,线段AB一般化为在数轴上的一条定长线段,便得到如下的题:【题3】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且数A和数B的距离为200个单位长度,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止。设运动时间为t。(1)用含a的代数式表示数B;(2)用含a和t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数;(3)用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。【分析】一般化后,增加了字母参数,更加抽象化,难度也上升了,但若严格按照逻辑推理进行解题,难度也会有所下降。(1)由数轴上两点间距离公式可得:ba200,整理得:b200a;(2)由路程=速度×时间得,APt,即A、P两点间的距离为t;同(1)可得,点P表示的数为at。(3)由于数B≥数P,故根据数轴上两点间距离公式有:BPbata200at200t。我们发现,只要线段AB的长度固定,点P到B的距离跟A、B表示的数无关。接下来,我们将问题复杂化,变为双动点问题,请看【题4】。【题4】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止;另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发,以2个单位每秒的速度由B往A运动,到A点运动停止。设运动时间为t。(1)当电子蚂蚁P、Q相距40个单位长度时,求运动时间t;(2)用含t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。【分析】本题的实质,就是行程问题中的相向运动问题,若用数轴不好理解,可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。(1)在运动的过程中,点P和点Q的位置有三种情况:P在Q的右边,P和Q重合,P在Q的左边,故运用两点间距离公式时,需要加个绝对值号,可以有效避免漏掉情况。另外,Q到A后,Q停止,但P继续往B运动,故也得考虑这种情况。①P、Q都在运动时,0秒t100秒时,点P表示的数为t,点Q表示的数为2002t,故P、Q两点间的距离为2002tt。根据题意有:2002tt40。很自然地需要分类讨论,考虑了两种情况。②Q停止运动,P继续运动,此时PQ距离>100,故不符合题意。(2)①P与Q相遇之前,即P在Q的左边,此时有数Q>数P,0秒t<200秒,此时:3PQ2002tt2003t②P与Q相遇后,Q停止运动前,即Q在P的左边,此时有数P>数Q,200秒t100秒,此时:3PQt2002t3t200③Q停止运动,P继续向B运动直至停止,数Q为0,数P>数Q,100秒<t200秒,此时:PQt0t【提炼】第(1)问题,利用数轴上两点间的距离公式,能有效解决漏掉情况的问题。下面,我们把线段等分点加进来,提升难度,请看【题5】和【题6】。其处理的核心,依然是表示出相关的数。【题5】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止;另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发,以2个单位每秒的速度由B往A运动,到A点运动停止。设运动时间为t。(1)当P为AQ中点时,求运动时间t;(2)当Q为BP中点时,求运动时间t。【分析】搭上了线段中点,处理方式依然不变,用含t的代数式表示出数Q、数P,利用两点间距离公式解题。(1)点P表示的数为t,点Q表示的数为2002t,若P为AQ中点,有AP=PQ,即:t2002tt,解得:t50秒;(2)点P表示的数为t,点Q表示的数为2002t,若Q为BP中点,有PQ=BQ,即:2002tt2t,解得:t40秒。【题6】已知数轴上A、B两点对应的数分别是-2和4,P为原点。若A、B、P三点分别以1个单位每秒、4个单位每秒、2个单位每秒的速度向右运动,当A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点时,求运动的时间。【分析】按理说有三种情况,A为P、B中点,B为A、P中点,P为A、B中点,但结合条件,发现A不可能为P、B中点,故此种情况可以舍去。设运动时间为t,则运动过程中,点A表示的数为t-2,点P表示的数为4t,点B表示的数为4+2t。①B为A、P中点,有AB=BP,即:4+2t-t+2=4t-4-2t,解得:t=10秒;②P为A、B中点,有AP=PB,即:4t-t+2=4+2t-4t,解得:t=0.4秒;接着,我们进一步加深难度,将动线段的等分点放进来,主动点带从动点,看处理是否发生变化呢?请看【题7】。【题7】如图,点A表示的数是-3,点B表示的数是1,若Q是点B右侧一点,QA的中点为M,QB的四等分点为N(N靠近点Q),当Q在B的右侧运动时,有两个结论:①1QM3BN的值不变,②QM2BN243的值不变,其中只有一个结论是正确的,请你判断正确的结论,并求出其值。【分析】此题有一难处,是Q点的速度未知,一些学生就不知该如何处理了。处理方式,还是比较简单的,直接设BQ=m即可。则点Q表示的数就可以用含m的代数式表示了。设BQ=m,则点Q表示的数为m+1,AQ=m+1+3=m+4,QM1AQm2;BN3BQ3m,2244将QM、BN代入上面两个式子即可:①1QM3BN1m2m1,值与m有关;24224②QM2BNm223m2,值与m无关;3234【解后反思】QM2BNm223m2的值与BQ的长度没有关系,只与AB的长度有关系,故3234可以将数A、数B推广到任意数,便得到了一般化的情况。【思考】线段(直线、射线)上的运动问题,可以转化为数轴上的运动问题来处理吗?最后,放几个题结束本文。【题1】如图,数轴上A、B两点对应的有理数分别为-8和12,点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动,同时点Q从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,运动时间为t秒。(1)求经过两秒后,数轴点P、Q分别表示的数;(2)当t3时,求PQ的值;(3)在运动过程中,是否存在时间t,使得AP=BQ,若存在,求出t值;若不存在,说明理由。【题2】如图,点A、B和线段CD都在数轴上,点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12;线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动,移动时间为t秒。(1)当t0秒时,AC的长度为;当t2秒时,AC的长度为;(2)用含有t的代数式表示AC的长为.(3)当t秒时,AC-BD=5,当t秒时AC+BD=15.(4)若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动,点A的速度为每秒2个单位,在移动过程中,是否存在某一时刻使得AC=2BD,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.【题3】如图,E为线段AC上靠近点A的三等分点,B、D为线段EC上的两点,且满足CD=2BD。(1)若DE=6cm,求线段AB的长;AC(2)若图中所有线段的长度之和是线段DC长度的14倍,求DC的值;(3)若AC=15cm,EB=4cm,动点P从A点、动点Q从D点同时出发,分别以3cm/s、1cm/s的速度沿直线AC向右运动,是否存在某个时刻,使得BP+CQ=AB成立?若存在,求此时PQ的长度;若不存在,说明理由。【题4】如图,数轴上线段AB=2,CD=4,点A在数轴上表示的数是10,点C在数轴上表示的数是16。若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动。(1)运动多少时,BC=8?(2)P是线段AB上一点,当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式BDAP3,若存在,求线段PCPD的长;若不存在,请说明理由。
本文标题:数轴上的动点问题
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