一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solutionoffirst-orderdifferentialequationAbstract:Differentialequations,importantpartsofcalculus,arewidelyusedintheresearchofpracticalproblems,whichalsoplayimportantroleinmathematics.Thesolutionofadifferentialequationissummarizedbriefly,andillustratestheanalysisofvariableseparableequation,lineardifferentialequation,integralfactor,exactdifferentialequation,mainlysummarizestheelementarysolutionoffirstorderdifferentialequations,andthetypicalexamplestoillustrate.Keywords:variableseparation;integralfactor;non-homogeneousdifferentialequation;constantvariationmethod1.引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题,能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2.一般变量分离2.1变量可分离方程形如()()dyfxgydx（1.1）或1122()()()()MxNydxMxNydy（1.2）的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程[1].(1)显式变量可分离方程的解法在方程（1.1）中，若()0gy，（1.1）变形为()()dyfxdxgy积分得()()dyfxdxCgy（1.3）此为（1.1）的解．若()0gy，0y使0()0gy，则0yy也是（1.1）的解．注：当0yy不包含于（1.3）时要特别补上解0yy．例1：求解方程2211ydydxx．解:当1y时，方程的通积分为2211dydxCyx，即arcsinarcsinyxC即sin(arcsin)yxC.另外，方程还有解1y，不包含在通解中.(2)微分形式变量可分离方程的解法方程1122()()()()MxNydxMxNydy（1.2）是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x和y在方程中的地位是“平等”的，即x和y都可以被认为是自变量或函数[1].在求常数解时，若10()0Ny，则0yy为方程（1.2）的解.同样，若20()0Mx，则0xx也是方程（1.2）的解.当120NyMx时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得2112NyMxdydxNyMx上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分2112NyMxdydxCNyMx例2:求解方程22110xydxyxdy解:首先,易见1,1yx为方程的解.其次,当22(1)10xy时,分离变量得22110ydyxdxxy积分，得方程的通积分22ln1ln1lnxyC（C≠0）或2211xyC（C≠0）以上内容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变量可分离方程,接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法.2.2可化为变量可分离方程(1)第一类可化为变量可分离的方程:齐次微分方程如果一阶显式方程(,)dyfxydx（1.4）的右端函数(,)fxy可以改写为yx的函数()ygx，那么称方程（1.4）为一阶齐次微分方程,也可以写为()dyygdxx(1.5)作变量变换yux(1.6)于是yux，从而dyduuxdxdx(1.7)把（1.6），（1.7）代入（1.5）得()duxugudx即()duguudxx(1.8)方程（1.8）是一个变量可分离方程,当()0guu时,分离变量并积分,得到它的通积分1ln()dudxCguux(1.9)或()1duguuCxe即()uxCe其中11(),()duuCguuC.以yux代入,得到原方程(1.5)的通积分()yxxCe若存在常数0u,使00()0guu，则0uu是(1.8)的解,由yux,得0yux是原方程（1.5）的解[1]．例3：解方程22dyxxyydx解：将方程化为2dyyydxxx,令yux，代入上式得2duuxuudx,即2duxudx易于看出,0u为这个方程的一个解,从而0y为原方程的一个解.当0u时,分离变量得2.dudxux两端积分后得1lnxCu或1lnuxC将u换成yx,并解出y,便得到原方程的通解lnxyxC.(2)第二类可化为变量可分离的方程形如111222axbycdydxaxbyc（2.1）的方程是第二类可化为变量可分离的方程[1].其中111222,,,,,abcabc均为常数.分如下情况：12()0icc1122axbydydxaxby.即1122yabdyxydxabx用变量代换yux即可化为可分离变量的微分方程．111222()abciikabc令22uaxby则122222kucdudyababdxdxuc是可分离变量的微分方程．1122()abiiiab若12,cc不全为零，则11122200axbycaxbyc代表oxy平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点,设为,令XxYy，则上述方程变为112200aXbYaXbY则（1.7）变为1122aXbYdXxgdYaXbYy为可分离变量的微分方程．注：若120cc，则为i的情形．例4：求方程25yxyxdxdy.解：令2yxu,则dudxdy，代入得到uudxdu71，有dxudu7，所以)(722为常数CCxu，把u代入得到)(7222为常数）（CCxyx。例5：求方程1212yxyxdxdy.解：由012012yxyx,得3131yx,令3131yvxu,有dudxdvdy，代入得到uvuvvuvududv21222，令uvt，有udttdudv，代入得到ttdudtut212，化简得到，)1(2)1(22221222ttttddttttudu，有)(2)1ln(ln2为常数CCttu，所以有)(1121CeCttCu，故代入得到)0(,31313131131121CxyxyCx3常数变易法一阶线性微分方程的一般形式()()dypxyfxdx（2.2）其中(),()pxfx在考虑的区间上是x的连续函数.当f0x时,即0dyPxydx（2.3）称为一阶线性齐次微分方程，当()0fx，称为一阶线性非齐次微分方程.3.1齐次方程通解的解法：一般变量分离对0dypxydx分离变量，得1dypxdxy两边同时积分，得1lnypxdxc即2pxdxyce则(0)pxdxycec3.2非齐次方程通解的解法：常数变易法不难看出,（2.3）是（2.2）的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待定函数,使它满足方程,从而求出,xc为此，令()()pxdxycxe（2.4）为方程（2.2）的解，其中()cx待定，将（2.4）代入（2.2），得()()()'()()[()]()()()pxdxpxdxpxdxcxecxepxpxcxefx即()'()()pxdxcxfxe从而()()()pxdxcxfxedxc故，方程（2.2）的通解为()()()()pxdxpxdxpxdxyceefxedx注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和[4]。例6：求解方2dyyxdxx（2.5）解：方程（2.5）所对应的齐次方程为dyydxx（2.6）其通解为1lndxxxycececx,由常数变易法，令(x)xyc为方程（2.5）的通解，并代入（2.5）2'(x)xc(x)c(x)xc即'(x)xc，212cxxc，则方程（2.5）的通解为312ycxx.4．恰当微分方程若一阶微分方程0),(),(dyyxNdxyxM（2.7）的左端恰好是某个二元函数的全微分，即dyyudxxuyxdudyyxNdxyxM),(),(),(则（2.7）为恰当微分方程，其中),(yxM，),(yxN为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数[1]．那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法．若（2.7）为恰当微分方程，则xuM（2.8）yuN（2.9）对（2.8），（2.9）分别求关于y，x的偏导数，有yxuyM2，xyuxN2，由yM，xN的连续性，可知xyuyxu22故xNyM，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件．下面来讨论(2.7)的通解形式由(2.8)知(,)()uMxydxyy是y的可微函数，下面来求y,使y也满足(2.9)()(,)udyMxydxNyydy由此知()(,)dyNMxydxdyy下证dxyxMyN),(与x无关即可．0),(),(),(yMxNdxyxMxyxNdxyxMyxxNdxyxMNx所以左边与x无关．积分得()(,)yNMxydxdyy所以dydxyxMyNdxyxMyxu),(),(),(从而，原方程的通解为CdydxyxMyNdxyxMyxu),(),(),(C为任意常数．例7:0)46()63(3222dyyyxdxxyx解：由题意得到，322246),(,63),(yyxyxNxyxyxM,由xNxyyM12得到，原方程是一个恰当方程；下面求一个),(),(),,(),(.),,(yxNyyxGyXMxyxGtsyxG，由2263),(),(xyxyXMxyxG，得)(3),(223yyxxyxG，两边对y求偏导得到32246)(6yyxyyxyG，得到3