不等式的概念和性质、基本不等式

考点一不等式的概念及性质1.实数比较大小的方法a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.2.不等式的性质(1)ab⇔ba.(2)ab,bc⇒ac.(3)ab⇔a+cb+c.推论1a+bc⇔ac-b.推论2ab,cd⇒a+cb+d.(4)ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc.§7.1不等式的概念和性质、基本不等式知识清单推论1ab0,cd0⇒acbd.推论2ab,ab0⇒  .推论3ab0⇒anbn(n∈N*,且n≥1).(5)ab0⇒  (n∈N*,且n1).1a1bnanb考点二基本不等式1.两个重要不等式(1)若a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”.(2)若a、b∈(0,+∞),那么 ≥ ,当且仅当a=b时取“=”.2.算术平均数、几何平均数若a、b∈(0,+∞),那么 叫做正数a、b的算术平均数, 叫做正数a、b的几何平均数.3.基本不等式求最值的方法(1)若a、b∈(0,+∞),当ab为定值时,a+b有最小值,最小值为2 ,当且仅当a=b时取“=”.2abab2ababab(2)若a、b∈(0,+∞),当a+b为定值时,ab有最大值,最大值为 ,当且仅当a=b时取“=”.(3)若a、b∈R,则 ≤ .当a、b∈(0,+∞)时,a+b≤ ,当a2+b2为定值时,a+b有最大值,当且仅当a=b时取“=”.4.基本不等式的几种变形及相关结论(1)几种变形对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,如:ab≤ ≤ (a、b∈R);22ab22ab222ab222()ab22ab222ab ≤ ≤ (a0,b0).(2)常用的结论(i)如果a、b∈(0,+∞),则 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a=b时取等号).(ii)若a∈(0,+∞),则a+ ≥2(当且仅当a=1时取等号);若a≠0,则a+ ≥2(当且仅当a=1时取等号)或a+ ≤-2(当且仅当a=-1时取等号).(iii)若a、b∈R,则2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时取等号.(iv)a2+b2+c2≥ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号.ab2ab222ab222ab2abab211ab1a1a1a比较大小常用的方法比较大小常用的方法有作差法和作商法.(1)作差法比较大小的步骤:作差→变形→判断差的符号→下结论.(2)作商法比较大小的步骤:作商→变形→判断商与1的大小→下结论.其中变形是关键,变形方法有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.例1若0x1,a0且a≠1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 (A)A.|loga(1-x)||loga(1+x)|B.|loga(1-x)||loga(1+x)|C.不确定,由a的值决定D.不确定,由x的值决定方法1方法技巧解析∵0x1,∴01-x1,01-x21,11+x2.∴lg(1-x)0,lg(1-x2)0,lg(1+x)0,∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|= - =- ·[lg(1-x)+lg(1+x)]=- ·lg(1-x2)0,∴|loga(1-x)||loga(1+x)|.lg(1)lgxalg(1)lgxa1|lg|a1|lg|a应用不等式的性质解题使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用.例如:(1)ab,cd⇒a+cb+d,已知的两个不等式必须是同向不等式;(2)ab0且cd0⇒acbd,已知的两个不等式不仅要求同向,而且必须为正值;(3)ab0⇒anbn,其中a,b为正值,并且n∈N*,n≥1.若去掉“b0”这个条件,取a=3,b=-4,n=2,就会出现32(-4)2的错误结论;若去掉“n∈N*,n≥1”这个条件,取a=3,b=2,n=-1,会出现3-12-1,即  的错误结论.例2已知-1x+y4且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是.(答案用区间表示)1312方法2解析解法一(待定系数法):设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y)=(λ+μ)x+(λ-μ)y,则 ⇒ 从而2x-3y=- (x+y)+ (x-y),又由已知得-2- (x+y) ,5 (x-y) ,∴3- (x+y)+ (x-y)8,即z∈(3,8).解法二(线性规划法):-1x+y4且2x-y3表示的平面区域如图,其中,A(3,1),B(1,-2).2,3λμλμ1,25,2λμ12521212521521252 当直线z=2x-3y经过点A时,z取得最小值,zmin=3,当直线z=2x-3y经过点B时,z取得最大值,zmax=8,又A,B两点不在可行域内,故z∈(3,8).答案(3,8)利用基本不等式求最值1.已知某些变量(正数)的积为定值,可求和的最小值.2.已知某些变量(正数)的和为定值,可求积的最大值.在运用基本不等式解决最值问题时,要注意条件“一正、二定、三相等”.创造使用基本不等式的条件,常用的技巧有变常数、变系数、拆项等.另外,对于函数f(x)=ax+ (a0,b0)定义域内不含实数± 的类型的最值问题,应用“对勾函数”的单调性求解.例3(1)(2016天津红桥高考模拟,11)已知x3,则x+ 的最小值为 (D)A.2B.4C.5D.7bxba43x方法3(2)(2016江西重点中学盟校一模,10)若直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,则 + 的最小值为 (D)A.4B.12C.16D.61m3n解题导引(1)添项成x-3+3+  使用基本不等式解决(2)求圆的半径及圆心坐标 直线过圆心(-3,-1) 3m+n=2 用“1”代换 利用基本不等式求最小值43x解析(1)x3,则x-30,所以x+ =x-3+ +3≥2 +3=7,当且仅当x=5时等号成立.故选D.(2)圆(x+3)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心为(-3,-1),因为直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,所以直线经过圆的圆心,则可得3m+n=2.则 + =  (3m+n)=  ≥3+ =6.当且仅当m= ,n=1时取等号.故选D.43x43x4(3)3xx1m3n1213mn12933nmmn9nmmn13