数列通项公式求法大全(配练习及答案)-

数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。一、公式法二、累加法三、累乘法四、构造法五、倒数法六、递推公式为nS与na的关系式(或()nnSfa（七）、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（八）、迭代法（九）、数学归纳法已知数列的类型一、公式法*11(1)()naanddnadnN1*11()nnnaaaqqnNq已知递推公式二、累加法)(1nfaann（1）fnd（2）fnn（3）2nfn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。2nan例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。（31.nnan）三、累乘法nnanfa)(1（1）fnd（2）fnn，1nn，2n例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。（(1)12325!.nnnnan）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例4（20XX年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。（!.2nna）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。四、构造法qpaann1nfpaann1nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。（1）qpaann1（构造等比）1nnatpatq1nnqtatpapqttp1qtp例5已知数列{}na满足134nnaa（2）nfpaann11.nnnapaqm（2.1）构造等比数列111nnnnnatmpaqmtm111nnnnnqmtmatmpap11()nnnnqtmmatmpapqtmtpqtpm（当pm时用构造成累加的形式求）例6已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。（125nnna）评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。（2.2）够造成累加法1.nnnapaqm111nnnnnnaaqmppp111nnnnnnaaqmppp（回归到累加法）例7已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。例8已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。（1133522nnna）评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列{522}nna是等比数列，进而求出数列{522}nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。例9已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。（42231018nnann）评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，（设222111211345nnapnqnfapnqnfnn）2111napnqnf=232452222nppqpqfann32pp，242pqq，52pqff）从而可知数列2{31018}nann是等比数列，进而求出数列2{31018}nann的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。五、倒数法1nnnkaapaq例10已知数列{}na满足121nnnaaa，例11已知数列{}na满足1221nnnaaa六、递推公式为nS与na的关系式(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn例10已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例10已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan⑩设1lg(1)5(lg)nnaxnyaxny○11将⑩式代入○11式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanxnyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255xnxyxny，则lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy代入○11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan○12由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a及○12式，得lg3lg3lg2lg04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2{lg}4164nan的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。八、迭代法例11已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1)23212[]nnnnnnnnnaaa2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(2)(1)(1)123(1)223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)213!21[]nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa又15a，所以数列{}na的通项公式为(1)123!25nnnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1)123!213211221lglglglglglglg5lglglglgnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3!225nnnnna。九、数学归纳法例12已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(211)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21)(23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例13已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nn