若当矩阵

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：复矩阵若当标准形的性质与应用姓名：廉换霞学号：410401143莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6月25日复矩阵若当标准形的性质与应用数本041廉换霞410401143摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。关键词：若当形矩阵若当标准形初等因子可逆阵哈密尔顿——凯莱定理一、定义及性质1、若当形矩阵的定义形式为1(,)1ttJt的矩阵称为若当块，其中是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。2、若当标准形的性质性质一若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。此性质可用于求矩阵的若当标准形。例1求矩阵126103114A的若当标准形解：首先求EA的初等因子22221260132100130110111141140132100100011010002100(1)EA因此，A的初等因子是1，2(1)，A的若当标准形是100010011J性质二一个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子的汇集。例2、设复准对角12SAAAA其中iA是in阶方阵，1,2,,is。证明：A的初等因子是各个iA（1,2,,is）初等因子的汇集。证明：因对于各个子块iA，都有in阶可逆矩阵iQ，使得11,2,,iiiiQAQJis这里iJ是iA的若当标准形，令12SQQQQ则Q是n阶可逆矩阵，且121SJJQAQJJ由若当标准形的唯一性，J是A的若当标准形，每个iJ就是J的若当块，由性质二，J的初等因子是个各个1,2,,iJis初等因子的汇集。因为iiAJAJ，相似矩阵有相同的初等因子，所以A的初等因子是各个1,2,,iAis初等因子的汇集。性质三每个n级的复数矩阵A都与一个若当矩阵相似，这个若当矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为A的若当标准形。此性质在解题中有广泛的应用。例3、证明任意n级复矩阵A与它的转置'A相似。证明：由性质3，存在可逆矩阵P使得12121rtttrJJPAPJ故12121rtttrJJAPPJ令111nE则2nEE，所以1nnEE1'1111111iiiiiintintiiiEJEJ得1''1,2,,iiitintinntinJEJEEJEir所以1212'1'21'''121''1'1''1'()()()()()rrtttrttnntrnnnnJJAPPJJJPEEPJPEPAPEPPEPAPEP故'AA例4、证明：n级复矩阵A的n个特征值是1,,n，则对于任一复系数多项式g，矩阵A的多项式gA的n个特征值是1(),,()ngg证明：设10mmgaaa，则10mmgAaAaAaE。由于性质三，存在可逆阵P，使得121nPAP于是111011101012021012()()()()mmmmmmmmnnnPgAPPaAaAaEPaPAPaPAPaEaaaaaggg由于相似矩阵具有相同的特征值，故gA的特征值是1(),,()ngg。补充可逆阵P的求法由性质三，对任意n级复矩阵A都存在一个可逆阵P，使得11PAPJ由1可知122sAPPJPdiagJJJ，，，把变换矩阵P按若当块iJ的阶数in进行相应的分块，即记12sPPPP，，，，其中iinniPC，因此121212sssAPPPPPPdiagJJJ，，，，，，，，，故121122,sssAPAPAPPJPJPJ，，，，，比较上式两端，得1,2,,3iiiAPPJis对iP按列分块12,,niiiiiPXXX，其中12,,niiiiXXX是in个线性无关的n维列向量，代入3可得112223114nnniiinniiiiiiiiiiiiiiiiiAXXXAXXXAXXXAXX由最后一个方程看到，列向量niiX是矩阵A的特征值为i所对应的特征向量，且由niiX继而可求得211,,,niiiiXXX，因此，矩阵iP以至P都可求得。但需要注意的是：特征向量niiX的选取要保证1niiX可以求出，类似地1niiX的选取也要保证2niiX可以求出，如此等等。例5、已知126103114A求A的若当标准形和可逆矩阵P，使1PAPJ。解：先求A的初等因子222126114131311412611411401101101320021100010001EA所以A的初等因子为21,1A的若当标准形11011J于是存在33PC，满足APPJ，令123,,PXXX，得1231231,,,,1011AXAXAXXXX比较上式两边，得：1122333,,AXXAXXXAXX即12330,,0EAXEAXXEAX由此可见，1X，3X是A的特征值为1的两个线性无关的特征向量，解方程组0EAX，可求得两个线性无关的特征向量为'1,1,0，'3,0,1，取1X，但不能简单地取3X，因为3X还要保证非齐次线性方程组23EAXX有解。因此，选取1X，312Xkk，其中12,kk要保证1X与3X线性无关，且使得23EAXX有解。因'31212123,,Xkkkkkk，即选取12,kk，使方程组1122213323226113113xkkEAXxkXxk有解。不难知，当12kk时，方程组有解，且其解为12313xxxk1k为非零任意常数，取11k，这时得：''322,1,1,2,0,1XX于是122101011P容易验证111011PAP性质四n级若当块1,1aaJaka的最小多项式为kxa。性质五设是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若当形的，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被唯一决定的。性质六设是复数域上n维线性空间V的线性变换，1212,,,krrrk是的初等因子组，则V可分解为k个不变子空间的直和：12kVVVV其中iV的维数等于ir。证明：设V是n维复线性空间，是V上的线性变换。设的初等因子组为1212,,,krrrk则性质五告诉我们，存在V的一组基1,,{}iine，在这组基下的表示矩阵为12kJJJJ上式中每个iJ是相应与初等因子iri的若当块，其阶正好为ir，令1V是由基元11,,ree生成的子空间，则11111111,,,,1rreeee即11111111221231111rrrrreeeeeeeeeee这表示11VV，即1V是的不变子空间。这一结论自然对任一i都对，即iV是iJ的不变子空间，其中iV是对应于iJ的V的子空间。iV由1,,issree生成，其中11isrr，我们有12kVVVV。二、应用1、在“矩阵分解论”中的应用例6、（Voss定理）复数域上任意n阶方阵A都可以分解成两个对称矩阵之积，并且其中至少有一个可逆的。证明：记11111111111(),(,)11nnPnBn它们都是对称的11nn矩阵,1()Pn是可逆的，并且11111(,)()(,)JnPnBn设A为复数域上的n级方阵，则A相似于一个若当形矩阵，即存在复数域上可逆的n级方阵T，使得1ATJT，其中1122(,),(,),,(,)sSJdiagJnJnJn取'12(),(),,()SPTdiagPnPnPnT1'11122()(,),(,),,(,)sSBTdiagBnBnBnT则,BP都是对称的，P是可逆的，并且APB例7、证明任一复矩阵A均可分解为ABC，其中C为幂零阵，B相似于对角形，且BCCB证明：存在可逆矩阵T，使121sJJTATJ其中0110110iiiiiiiJ设010,10iiiiiBC则11221ssBCBCTATBC令112211,ssBCBCBTTCTTBC显然,BC为所求。2、在“矩阵方程”中的应用我们以“设nnAMatC；求矩阵X，使得AXXA”为例，说明若当标准形在解矩阵方程中的应用。上述问题可以归结为解齐次线性方程组，它有2n个未知数。如果直接用A来做，在理论上，总是可以解的，但很复杂，即使对低阶的矩阵A，由结果也很难找到什么规律，难以看出解集合所成的子空间的维数与什么有关。因此应该将A化简，化简后应与原问题有紧密联系，相似关系符合要求（见后面例9解的步骤（1）），将A化成若当标准形，于是问题归结为“例8”，然后过渡到一般情况，其结论显现出较强的规律，可以引出一些有趣的性质。为了描述结果，我们引进下面的记号。记{0,[]}TnngJngxCx如果1211210()nnnngxtxtxtxt则01012012100,nnnttttgJntttttt上面的矩阵也成为下三角形Joepliz矩阵。可以看出，对任意aC{0,[]}{,[]}T