上海2020高三数学一模分类汇编-平面向量、复数(详答版)

2020年一模汇编——平面向量一、填空题【徐汇2】向量(3,4)ar在向量(1,0)br方向上的投影为【答案】3【解析】向量a在向量b方向上的投影为3cos31ababaaabb【闵行5】在△ABC中，已知ABauuurr，BCbuuurr，G为△ABC的重心，用向量ar、br表示向量AGuuur【答案】2133ab【解析】因为G为△ABC的重心，设BC边中线为AD，交BC于D点，则222121333233AGADABBDABBCabuuuruuuruuuruuuruuuruuurrr【长宁，嘉定，金山6】己知向量23,21AB,21,23AC,则BAC=【答案】6【解析】向量的夹角公式23cos222221212121yxyxyyxx，6【静安7】如图，在平行四边形ABCD中，2AB，1AD,则ACBDuuuruuur的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3ACBDABADADABuuuruuuruuuruuuruuuruuur【松江7】已知向量1,2a，,3bm，若向量2abb∥，则实数m【答案】32【解析】212,8abm，又2abb∥，12380mm，解得：CABD32m【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..abc两两不平行，且,+cabcba，设c=,,,+2y=xaybxyR则x【答案】-3【解析】由题意得1;bcmabxaybybmxa即1y，=1acnaaxaybxanyb；即1x23xy【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则ODABuuuruuur【答案】1【解析】以O为坐标原点OA为x轴OB为y轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01OABODABOAADABOAABADABABADADABODABOAAB、、gggggQggg【普陀11】设P是边长为22的正六边形123456AAAAAA的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则PMPN的取值范围为____________.【答案】646,882【解析】构建平面直角坐标系，取MN中点C，∴()()PMPNPCCMPCCNuuuruuuruuuruuuruuuruuur2224PCCMPCuuuruuuruuur，max||22222PCOCuuur，min||62PCOBOCuuur，∴2[1046,1282]PCuuur，即[646,882]PMPNuuuruuur，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。【崇明12】正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足2(1)OPOBOC，则PMPN的最小值为．【答案】-7【解析】如图，2-22-2-22-22，，，，BADC设直线l：1k11--kkxy2，，，则yx2,2,2,2，，设PKMKN，因为OCOB1OP2,所以2-1y1x，则2243212KPNPM,当1k21时，PNPM取到最小值，为-74-3-【青浦12】已知点P在双曲线221916xy上，点A满足(1)PAtOPuuruuur（tR），且60OAOPuuruuur，(0,1)OBuuur，则||OBOAuuuruur的最大值为【答案】8【解析】(1),PAPOOAtOPOAtOPuuruuuruuruuuruuruuur设(,)Pxy且221,916xy则(,),OAtxtyuur由60OAOPuuruuur可得2222225()(9(1))(9)60.1616yytxytyt21660(9),25yt222214419214410()64,255253tyttt当103t时，22max()64,8.tyOBOAtyuuuruurg【松江12】记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,AAAAAA,集合,,1,2,3,4,5,6,ijMaaAAijij，在M中任取两个元素,mn，则0mn的概率____________.【答案】851【解析】由集合的互异性，可枚举法数出M中共18个元素分两种情况分析：边和对角线，对角线和对角线。21834+348=51PC【杨浦12】向量集合(,),,SaaxyxyR，对于任意,S，以及任意(0,1)，都有(1)aS，则称S为“C类集”。现有四个命题：(1)若S为“C类集”，则集合,SaaSR也是“C类集”；(2)若,ST都是“C类集”，则集合,SabaSbT也是“C类集”；(3)若12,AA都是“C类集”，则12AA也是“C类集”；(4)若12,AA都是“C类集”，且交集非空，则12AA也是“C类集”；其中正确的命题有【答案】(2)(4)【解析】这是本次一模被讨论最多的题目，2（）和4（）的正确性是很容易验证的，讨论的焦点是1（）是否正确。利用三点共线的充要条件可以得到，“C类集”是平面上的凸的区域（线性规划中由不等式确定的平面区域就是凸的区域，凸的确切定义请度娘），因此，1（）是错误的，举个例子：设(,1)01Sttt，S中的向量终点组成的线段AB，则M表示终点位于一，三象限（含轴）的向量的全体（图中的阴影部分），此时，取(0,1)，(1,0)，则+1-a（）对应的点在第二象限。【黄浦12】已知正六边形123456AAAAAA的边长为2，点是P该正六边形上的动点，记12APAPuuuruuur2334455661APAPAPAPAPAPAPAPAPAPuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，则的取值范围是_________.【答案】[30,36]【解析】以正六边形的中心为坐标原点建立坐标系，123(1,3),(1,3),(2,0),AAA456(1,3),(1,3),(2,0)AAA，设(,3),(11)Pxx，12APAPuuuruuur2334455661APAPAPAPAPAPAPAPAPAPuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2630x，故的取值范围是[30,36]二、选择题【徐汇16】设H是ABC的垂心，且3450HAHBHC，则cosBHC的值为（）【A】3010【B】55【C】66【D】7014【答案】D【解析】因为45345033HAHBHCHAHBHC，作出大致图像，如下图：45345033HAHBHCHAHBHC设AHCCHDSSS，则123CCDSS，则1153CDHBDHSSS，则54BHDAHBSSS，根据面积比：1133995345202034BHCBHCBHCSSSSS。或根据向量“奔驰定理”可得上述面积之比，即：::3:4:5BOCAOCAOBSSS。又因H为重心，根据::tan:tan:tan3:4:5BOCAOCAOBSSSABC，又因为tantanB+tanC=tantanBtanCAA，解得：3tan5A，4tanB5，tanC5，则570coscos1414BHCA2020年一模汇编——复数一、填空题【宝山1】若iiz2)1(（i是虚数单位），则||z.【答案】2【解析】iiiz112，得到2||z【闵行2】复数5i2的共轭复数是【答案】2i【解析】5i25i2i2i2i25Z所以共轭复数是2i【虹口2】若复数3i1iz（i为虚数单位），则||z【答案】5【解析】3i10==51i2z【黄浦2】已知()(1)zaii（aR，i为虚数单位）为纯虚数，则a【答案】1【解析】由题复数(1)(1)zaai，为纯虚数，即11a，所以1a【青浦2】若复数i(32i)z（i是虚数单位），则z的模为【答案】13【解析】因为iz32，故133222z【浦东3】复数z满足i1iz（i为虚数单位），则z____________．【答案】2【解析】211iiiz【松江3】设121izii-=++，则z.【答案】1【解析】()()()()()211111211111iiiiiiziiiiiii+-+---=+=+==++++-，所以1z=.【普陀4】已知i为虚数单位，若复数11zmii是实数，则实数m的值为___________.【答案】12【解析】复数可整理为11=12izmimii，易知12m【徐汇4】复数1i34i的共轭复数为【答案】712525i【解析】1341713434342525iiiiiii，所以它的共轭复数为712525i【杨浦4】设aR，2(1)aaaai为纯虚数（i为虚数单位），则a【答案】02a或【解析】因为2(1)aaaai为纯虚数，所以2010aaaa，所以02a或【宝山8】已知方程)(022Rkkxx的两个虚根为21,xx，若2||21xx，则k.【答案】2【解析】228||221kkxx二、选择题【崇明14】已知zC，“0zz”是“z为纯虚数”的【A】充分非必要条件【B】必要非充要条件【C】充要条件【D】既非充分也非必要条件【答案】B【解析】本题主要考查复数的四则运算以及充分条件与必要条件。设biaz，则biaz。充分性：0zz时z可以为0，那么z就不是纯虚数，故充分性不成立；必要性：若z为纯虚数，则0a，那么0zz，故必要性成立。综上“0zz”是“z为纯虚数“的必要不充分条件。【静安14】设,xyR，若复数xiyi是纯虚数，则点(,)pxy一定满足（）【A】yx【B】yx【C】yx【D】yx【答案】B【解析】2221()()()()()()xxiyixyxyixyxyiyiyiyiyyy，并且1xyi为纯虚数，则0xy，1yx.【奉贤15】复数z满足32zi（i为虚数单位），则复数4z模的取值范围是（）【A】3,7【B】0,5【C】0,9【D】以上都不对【答案】A【解析】,zab的轨迹为：圆2234ab；则min453zr；max457zr【杨浦15】设1z，2z为复数，则下列命题中一定成立的是（）【A】如果120zz，那么12zz【B】如果12zz，那么12zz【C】如果121zz，那么12zz【D】如果22120zz，那么120zz【答案】C【解析】A错，反例121,zizi，B错，反例121,zzi，D错，反例121,zzi，所以选C三、解答题【长宁，嘉定，金山18】在复平面内复数21zz、所对应