抽象函数的解题攻略

抽象函数全攻略主讲教师：詹龙忠一、对称性先看定义域，再研究f(-x)与f(x)关系：f(-x)=f(x)偶函数关于y轴对称f(-x)=-f(x)奇函数关于原点对称1.对任意x、y恒有，证明f（x）是奇函数。显然，定义域关于原点对称。令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）(*)再令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0代入（*），则f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数。原型是正比例函数f()()()xyfxfy2.已知函数的定义域为x≠0，在定义域内的任意x、y，都有，证明f（x）是偶函数。显然，定义域关于原点对称。令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）（1）令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）（2）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）（3）∴f（1）=0，f（-1）=0再代入（1）得f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数原型是对数函数本题有个简便方法：f(xy)=f((-x)*(-y))=f(-x)+f(-y)∴f(x)+f(y)=f(-x)+f(-y)令y=x，2f(x)=2f(-x)，∴f(x)是偶函数。·fxyfxfy()fxfx•F(x+1)是偶函数，F(x)会怎样？•F(x-3)是奇函数，F(x)又怎样？根据定义推导：令g(x)=F(x+1),则g(-x)=g(x)即F(-x+1)=F(x+1)，写成F(1-x)=F(1+x)表示F(x)关于x=1对称。同理，F(-x-3)=-F(x-3)也就是F(-x-3)+F(x-3)=0F(x)关于（-3，0）中心对称。常见问题讨论总结一下：F(x+k)是偶函数，对称轴x=kF(x+k)是奇函数，对称中心（k，0）•对称函数的等价变换F(x+1)=F(-x+1)x→x-1F(x)=F(2-x)等价F(x-3)+F(-x-3)=0x→x+3F(x)+F(-6-x)=0等价对称变换原则：括号和不变，结果不变。拓展一下：1、F(x-3)=F(-x-5)，那么F(x)的对称轴是什么？2、F(x-3)+F(-x-5)=0，那么F(x)的对称中心是什么？对称变换：和之半为x。•对称函数的补充实例1.y=f(x+1)是偶函数，则f(2x)的对称轴是____。2.y=f(2x+1)是奇函数，则f(x)的对称中心是____。3.已知f(x+3)=f(5-x)，则对称轴是什么？★4.函数f(x+3)、f(5-x)的对称轴是什么？★5.已知函数y=f（2x-1）是R上的奇函数，函数y=g（x）是函数y=f（x）的反函数，则g（a）+g（-a）的值为_____。21x)0,1(4x1x2-伸伸小手：已知f(2x+3)=f(5-2x)，则f(2x)、f(x)对称轴分别是什么？•2016年全国卷II（12）已知函数f(x)(x∈R)满足，若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2),…,(xn,yn),则xx1_________)(1iniiyx因为f(-x)+f(x)=2，所以f(x)关于（0，1）对称。又y=也关于(0,1)对称。根据中点公式，两个对称的点的横坐标之和/2=0，纵坐标之和/2=1。两坐标之和=0+2=2。若有交点，必然对称出现。两个交点时，坐标之和=2，那么n个交点时，坐标之和=n。xx1f(-x)=2-f(x)二、周期性f(x)=f(x+t)(t≠0，常数）•1.已知f(x)=f(x-1)-f(x-2)，求f(x)的周期解题策略：我变非我，非我变我。周期变换原则：同加同减，结果不变。f(x-1)=f(x-2)-f(x-3)(1)与原式相加得f(x)=-f(x-3)(2)f(x-3)=-f(x-6)(3)f(x)=-[-f(x-6)]=f(x-6)(4)两个结论：F(x+a)=F(x+b)（a≠b）周期为|a-b|F(x+a)=-F(x+b)（a≠b）周期为2|a-b|∴f(x+6)=f(x)，即周期为6。x→x-1x→x-3两个方向：简单化或者复杂化•2.若，f(x)的周期=？)1(1)(1)2(axfaxf1)(1)(xfaxf)3(1)()2()(xfaxfaxf)4(1)()3()2(axfaxfaxf)3()(axfxf3a)2()(1)(11)(111)(1)2(xfxfxfaxfaxf•3.（2009年全国卷1）函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（）。A.f(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.F(x+3)是奇函数∵f(x+1)=-f(-x+1)，f(x-1)=-f(-x-1)∴f(x)=-f(-x+2)，f(x)=-f(-x-2)(*)∴f(-x+2)=f(-x-2)∴f(x+4)=f(x)∴周期为4。∴f（x+3）=f（x-1），∴f(x+3)是奇函数。•1.f(x)是奇函数,f(x-2)是偶函数,则周期是()。•2.（2009年四川理12）已知f(x)是不恒为零的偶函数，且xf(x+1)=(1+x)f(x)，则的值是（）。)]25([ff08伸伸小手：三、单调性•1.对任意x、y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，判断f（x）的单调性。设x1＞x2，则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)∵x1-x2＞0，∴f(x1-x2)0。∴f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)∴f(x)是减函数。•2.已知函数的定义域为x≠0，在定义域内的任意x、y，都有f(x·y)=f(x)+f(y)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)=1(1)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性；(2)解不等式21xx2)12(2xf(1)设x1x20，f(x1)-f(x2)=f()-f(x2)=f()+f(x2)-f(x2)=f()因此，f(x)在（0，+∞）上是增函数。221xxx21xx(2)易知f(x)是偶函数，等价于f(|2x2-1|)f(2)+f(2)，即f(|2x2-1|)f(4)。又x≠0，∴|2x2-1|4，|2x2-1|≠0。10102x222x且x111,f()0,12x22xfxfxx（）（）四、导数应用•1.（2015全国Ⅱ理12）设奇函数f(x)满足f（-1）=0，当x＞0时，，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（）。)0()()(xxxfxg0)()('xfxxf),1()0,1.()1,0()1,.(BA),1()1,0.()0,1()1,.(DC一、构建函数根据已知条件构建函数，显然可设二、研究性质，即g（x）在x0时为减函数。f(x)、x都是奇函数，所以g(x)(x≠0)是偶函数。又g(-1)=f(-1)/(-1)=-f(-1)/(-1)=0。作出g(x)示意图。当x0且f(x)0时，g(x)0当x0且f(x)0时，g(x)0答案：A0)()(')('2xxfxxfxg•2.定义在R上的连续函数f（x）满足f(﹣x)+f(x)=x2，且当x＜0时，f’(x)x，则不等式的解集（）。xxfxf)1(21)(一、构建函数f’(x)-x0g’(x)=f’(x)-x二、研究性质考察单调性和奇偶性。221)()(xxfxg0)(')('xxfxg∵∴g(x)在x0时为减函数。又g（-x）+g（x）=f(-x)+f(x)﹣x2=0∴g(x)是奇函数，g(x)在整个定义域内为减函数。021)1()(])1(21)1([21)()1()(22xxfxfxxfxxfxgxg即g(x)≤g(1-x)。∴x≥1-x，21x再见