(2.5)-第五节-隐函数求导-参数方程求导(少学时简约型)

在实际问题及理论分析中，函数并非总以y=f(x)的形式出现，而常常表示为隐函数或参数方程。因此必须研究隐函数和由参数方程表出的函数的求导问题。(1)隐函数的概念在过去的讨论中，函数关系y=f(x)都以自变量x的表达式给出，即因变量y在等式一边，而等式右边是自变量x的一个式子，如y=ax+sinx.用这种方式表达的函数称为显函数。然而在许多情形下，函数关系并不一定能由显函数表出。例如，xoy平面上的曲线常以一个方程形式给出的，如y5+2y-x-x7+1=0，此时相应的函数关系表示为一个二元方程F(x,y)=0，这种由方程给出的函数称为隐函数。(2)隐函数的显化及单值隐函数存在性问题以往关于函数性质的讨论都是依赖于其表达式进行的，即都是根据显函数形式进行的。因此对由方程给出的函数关系F(x,y)=0，总希望将其转化为显函数形式进行讨论，这就是隐函数的显化问题。例如，将由方程x2+y2-1=0表示的隐函数化为进行讨论。21yx然而，在许多情形下隐函数不一定能化为显函数。因为所谓隐函数的显化实际是由方程F(x,y)=0解出y=f(x)的过程，即求方程公式解的过程。由方程理论，五次以上的代数方程没有公式解，因此通过隐函数显化来讨论隐函数性质是行不通的。另一方面，即使隐函数可以显化，由方程确定的隐函数也未必是单值函数。因此，隐函数的讨论需考虑在不解出y=f(x)的情形下确定其性质，同时希望能找出判别出所论隐函数是否为单值函数的条件。隐函数求导的基本问题：在已知方程F(x,y)=0确定了单值隐函数y=y(x)的条件下，考虑如何能不通过解出函数y(x)的表达式而计算其导数。设方程F(x,y)=0在某区间I内确定了单值隐函数y=y(x)，考虑其导数计算问题：将y(x)代入方程有F[x,y(x)]=0.由于方程左端F[x,y(x)]可看成是以y(x)为中间变量的复合函数，故可考虑用复合函数求导法建立导数方程，并由此解出y(x).(3)隐函数求导原理方程F[x,y(x)]=0两边对x求导，由复合函数求导规则有由链式规则的形式知，方程G(x,y,y)=0的左边关于y(x)总是线性的，故由此方程总可解出y(x)，从而可求得由方程确定的隐函数y(x)的导数y(x).d0dFxyxGxyyx,,,.由方程F(x,y)=0能否确定隐函数y(x)本质上是对给定的x，方程F(x,y)=0是否总有解的问题。此问题将在下册讨论，目前只考虑在隐函数存在且可导的条件下如何计算其导数。因此只需认定y是x的函数并按复合函数求导规则在方程两边对x求导。当然也可认定x是y的函数，并在方程两边对y求导。由隐函数求导法求得的导函数y(x)一般既含x又含y，即隐函数求导的结果通常仍是隐函数。(4)隐函数的导数计算例：求由方程x+2y-cosy=0所确定的隐函数导数。隐函数是在假定可导隐函数存在条件下进行的,其计算本质是复合函数求导，因此只要认定了自变量及因变量，按复合函数求导法进行计算即可。所求已认定给定方程确定了隐函数y(x)，因此只需在方程两边对x求导，并按复合函数求导法计算。(x+2y-cosy)x=1+2y+sinyy=0=G(x,y,y)，解得认定y是x的函数求导1.2sinyxy对给定方程x+2y-cosy=0而言，x,y的地位是平等的，故也可认定给定方程确定了隐函数x=x(y)，于是可视y为自变量，在方程两边对y求导。对于本例方程，因变量x关于自变量y实际是显函数，即x=-2y+cosy，因此求导更方便，于是有对给定方程而言由于此x=x(y)与y=y(x)互为反函数，于是由反函数与直接函数的导数关系有dd2cos2sinddxyyyyy.d11.dd2sindyxxyy认定x是y的函数求导(5)隐函数求高阶导数问题若由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y(x)的导数y(x)仍然可导，则可进一步研究相应的高阶导数。隐函数求高阶导数相对复杂些，因为隐函数的导数y(x)既含x又含y，对其进行导数计算既要考虑含x的项对x求导，又要考虑含y的项对x求导。其导数计算结果既含x又含y，而且还含有y.例：求由方程ey+xy-e=0所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数y.给定方程两边对x求导有在上式两边再对x求导有•求一阶导数dde0ddyyyxyxxddeyyyxx.•求二阶导数22222dddddee0dddddyyyyyyyxxxxxx,认定y是x的函数求导22222dddddee0dddddyyyyyyyxxxxxx,解得二阶导数为将一阶导数代入便得222dde2ddddeyyyyyxxxx,ddeyyyxx222e2deedeyyyyyyyxxxx222ee.eyyyyxyx幂指函数u(x)v(x)既非指数函数亦非幂函数，其求导既不能按指数函数也不能按幂函数求导公式计算。幂指函数求导有两种计算方法，一种是对数求导法，另一种是按定义式求导。这两种方法的本质都是将幂指函数求导转化为复合函数求导和乘积的求导。在幂指函数y=u(x)v(x)两边取对数有lny=lnu(x)v(x)=v(x)lnu(x),式子两边对x求导得•对数求导法d1d1dlndddyvuuvyxxux,(6)幂指函数求导与对数求导法由此求得：幂指函数的定义式为u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，它可看成是指数函数y=ew与乘积式w=v(x)lnu(x)的复合函数。因此由复合函数求导规则有dddlndddvxvxuvvuxxxxuuxxxxuxx.•按定义式求导lnlneelnvxvxuxvxuxuvuxxxln.vxuxuvuvxxxxux例：设y=(tanx)sinx，求y.给定幂指函数两边取对数有lny=ln(tanx)sinx=sinxln(tanx)，上式两边对x求导得解得取对数求导d1dsinlntanddyxxyxxcoslntansecxxx,2sincoslntansectanxxxxxsindtan.coslntansecdxyxxxxx按幂指函数定义式求导sinlntansinlntaneesinlntanxxxxyxxsincoslntansec.tanxxxxx2sinlntansinecoslnsectantanxxxxxxx例：求由方程xy=yx所确定的隐函数y(x)的导数y.幂指型隐函数求导问题，宜采用对数求导法计算。给定方程两边取对数有ylnx=xlny，式子两边对x求导有解得取对数求导lnlnyxyxyyxy,22ln.lnxyyyyxyyx对于含多个因子连乘积形式的函数，直接按乘积求导法则计算将是繁杂的，但若通过取对数将乘积转化为和计算就会方便得多。例：设=2ln(2x+1)+3ln(x-1)+5ln(3x-1)-4ln(x2+1)-7ln(x3-1)23547232113111xxxyyxx.,求235472321131lnln11xxxyxx(7)连乘积求导与对数求导法取对数求导lny=2ln(2x+1)+3ln(x-1)+5ln(3x-1)-4ln(x2+1)-7ln(x3-1)式子两边对x求导有解得223315821142113111xxyyxxxxx,22331582142113111xxyyxxxxx23547232113111xxxxx2234315821.2113111xxxxxxx研究函数关系需要知道函数的表达式，但实际问题中的函数关系表达式并不容易求得。由于任何变量总是时间的函数，而变量对时间的函数关系相对容易观察和确定，因此可考虑先建立各变量对时间的函数关系，再设法求出不同变量间的函数关系。这就是用参数方程表示函数的思想和方法的最初来源。(1)用参数方程表示函数例如，在研究质点运动轨迹问题中，要直接确定抛射体所对应的质点坐标M(x,y)中x、y间的函数关系比较困难，却容易建立坐标x，y和时间参数的关系于是容易求得x，y间的函数关系为122:12xvtMxyyvtgt,.,222112gvyxxvv.2v1v又如，椭圆的直角坐标方程为它对应于多值函数，这对讨论不够方便。若将其转化为参数方程，讨论就会方便得多。2222:1yxCab,cos:sinxatCybt,.xyOt对用参数方程表示的函数，有时可通过消去参数，使其化为y=f(x)的形式，有时消参数却不那么容易。因此有必要考虑直接根据参数方程讨论函数性质。一般地，若曲线的参数方程可表为则对t[,]，由此参数方程可确定平面上的一个点M(x,y)，当t在[,]内变动时，点M(x,y)便描绘出一条曲线C，这条曲线确定了x,y间的一个函数关系y=f(x)，称此函数为由参数方程所确定的函数。:.xtCtyt,.xyOyCxMxy,yfx(2)由参数方程所确定的函数的导数设有由参数方程所确定的函数关系，即若x=(t)可导，且(t)0，则(t)在[,]上单调，于是可确定单值反函数t=-1(x)，x[a,b].那么由参数方程所确定的函数y=f(x)可看成是由函数y=(t)、t=-1(x)复合而成的函数，即y=f(x)=[-1(x)]，x[a,b].:xtCtyt,.yfx.•参数方程所确定的函数的结构由复合函数和反函数的可导条件知，为使参数方程能够导出x、y间的函数关系y=f(x)=[-1(x)]，参数方程需满足如下条件：•(t)、(t)在(,)内均可导；•当t(,)时，(t)0.在上述条件下，由参数方程可确定可导函数y=f(x)=[-1(x)]，x[a,b]，且有:xtCtyt,.dddd1.ddddddyyyttxtxtxtt•参数方程求导若(t)、(t)在(,)内还是二阶可导的，则y=f(x)=[-1(x)]也二阶可导，且有依此类推，若(t)、(t)在(,)内还有更高阶的导数，则还可求得y=f(x)=[-1(x)]的更高阶的导数。22ddddddddddddyytttxxxtxxtt21tttttt3ttttt.•参数方程求高阶导数例：设椭圆的参数方程为求椭圆在t=/4相应点处的切线方程。求曲线的切线方程关键是求出曲线的切点和切点处的斜率。本例曲线以参数方程给出，相应的切点应是与参数t=/4对应的xOy平面上的点M0(x0,y0)，而切线斜率则对应于由此参数方程所确定的函数在点M0处的导数，它需由参数方程求导法计算。cossin.xatyat,由参数方程求导法求切线斜率•求切点坐标当t=/4时，椭圆上相应的点M0的坐标是0π2cos42axa,0π2sin42byb.xyOab4cos:sinxatCyat,.022abM,•求切线斜率曲线在点M0处的切线斜率为代入点斜式方程，即得曲线在点M0处的切线方程化简后得