2011年辽宁高考数学试题及答案(理科)

2011年辽宁高考数学试题及答案（理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a为正实数，i为虚数单位，2iia，则aA．2B．3C．2D．12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若NðMI，则NMA．MB．NC．ID．3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为A．34B．1C．54D．744．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则abA．23B．22C．3D．25．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=A．18B．14C．25D．126．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是A．8B．5C．3D．27．设sin1+=43（），则sin2A．79B．19C．19D．798．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．设函数1,log11,2)(21xxxxfx，则满足2)(xf的x的取值范围是A．1[，2]B．[0，2]C．[1，+]D．[0，+]10．若a，b，c均为单位向量，且0ba，0)()(cbca，则||cba的最大值为A．12B．1C．2D．211．函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为A．（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥S—ABC的体积为A．33B．32C．3D．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点（2，3）在双曲线C：)0,0(12222babyax上，C的焦距为4，则它的离心率为．14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：321.0254.0ˆxy．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．16．已知函数)(xf=Atan（x+）（2||,0），y=)(xf的部分图像如下图，则)24(f．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列12nna的前n项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据nxxx,,,21的的样本方差])()()[(1222212xxxxxxnsn，其中x为样本平均数．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（I）讨论)(xf的单调性；（II）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（III）若函数)(xfy的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）＜0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为sincosyx（为参数），曲线C2的参数方程为sincosbyax（0ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=2时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=4时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(xf=|x-2||x-5|．（I）证明：3≤)(xf≤3；（II）求不等式)(xf≥x28x+15的解集．参考答案一、选择题1—5BACDB6—10CADDB11—12BC二、填空题13．214．0.25415．2316．3三、解答题17．解：（I）设等差数列{}na的公差为d，由已知条件可得110,21210,adad解得11,1.ad故数列{}na的通项公式为2.nan………………5分（II）设数列1{}2nnnanS的前项和为，即2111,122nnnaaSaS故，12.2242nnnSaaa所以，当1n时，1211111222211121()2422121(1)22nnnnnnnnnnSaaaaaann.2nn所以1.2nnnS综上，数列11{}.22nnnnannS的前项和………………12分18．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQDCPQ所以0,0.PQDQPQDC即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.…………6分（II）依题意有B（1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CBBP设(,,)nxyz是平面PBC的法向量，则0,0,20.0,nCBxxyznBP即因此可取(0,1,2).n设m是平面PBQ的法向量，则0,0.mBPmPQ可取15(1,1,1).cos,.5mmn所以故二面角Q—BP—C的余弦值为15.5………………12分19．解：（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70PXCCCPXCCCPXCCCPXCPXC即X的分布列为………………4分X的数学期望为181881()012342.7035353570EX………………6分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xybyxCCababaa设直线:(||)lxtta，分别与C1，C2的方程联立，求得2222(,),(,).abAtatBtatba………………4分当13,,,22ABebayy时分别用表示A，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAybBCADya………………6分（II）t=0时的l不符合题意.0t时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212||,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得BO//AN；当212e时，存在直线l使得BO//AN.………………12分21．解：（I）()(0,),fx的定义域为1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx（i）若0,()0,()(0,)afxfx则所以在单调增加.（ii）若10,()0,afxxa则由得且当11(0,),()0,,()0.xfxxfxaa时当时所以1()(0,)fxa在单调增加，在1(,)a单调减少.………………4分（II）设函数11()()(),gxfxfxaa则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111gxaxaxaxaaaxgxaaxaxax当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以.故当10xa时，11()().fxfxaa………………8分（III）由（I）可得，当0,()ayfx时函数的图像与x轴至多有一个交点，故0a，从而()fx的最大值为11(),()0.ffaa且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则由（II）得111211()()()0.fxfxfxaaa从而1221021,.2xxxxxaa于是由（I）知，0()0.fx………………12分22．解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所