第7章--相平面法

1相平面法是分析非线性系统的另一种常用的方法，主要用于分析非线性系统的响应性能相平面的“相”是指相变量。相变量是一组特定的“状态变量”状态变量是指“足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量”c(t)1sr(t)e(t)y(t)Ks22•例如图所示的二阶线性控制系统y(t)和c(t)是一组状态变量，e(t)和y(t)也是一组状态变量。可见，状态变量是不唯一的•其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数关系•••将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变量。显然，相变量也不唯一•相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统()()dytctdt3coottcc(t)a)b)c(t)oc)4•图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲线，图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性的“相轨迹”曲线输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是该点的导数•结论：控制系统的输出响应性能可由它的相轨迹来获得，由响应特性曲线c(t)可读得响应的最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间等时域指标5相平面法一种求解二阶常微分方程的图解方法设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述（7-9）•令),(xxfx则22112),(xxxfdxdx（7-11）12212;(,)(710)dxdxxfxxdtdt.12,xxxx6相平面:描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。方程（7－9）称为相轨迹微分方程式，简称相轨迹方程。（7－11）式的积分结果称为相轨迹表达式。相轨迹:（x,x)把具有直角坐标的平面叫做相平面。7一、线性系统的相轨迹•设系统的微分方程为022xxxnn（7-12）0222nns系统（7-12）的特征方程为12nn特征方程的根为式（7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。8取相坐标、，式（7-12）可化为：xx2(2)nndxxxdtdxxdt（7-14）或22nnxxdxdxx9（1）无阻尼运动由方程（7-14），相轨迹方程为)0(22002nxAx其中相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。每个椭圆相当于一个简谐振动2222()()nxtxtA（7-16）10图7-24系统无阻尼运动时的相轨迹相轨迹的方向如图7-24中箭头所示。相轨迹垂直穿过横轴。坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。图7-24的奇点(0,0)通常称为中心11（2）欠阻尼运动10其中22000ndxxAx000ndxxarctgx()sin()ntdxtAet（7-17）方程（7-12）的解为12•相轨迹如图7－25所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为稳定的焦点。图7-25系统欠阻尼运动时的相轨迹13（3）过阻尼运动方程（7－12）的解为11212()qtqtxtAeAe002112xxA001212xxA121122()qtqtxtAqeAqe相轨迹如图7－26所示14图7-26过阻尼时的相轨迹A2=0，曲线1；A1=0，曲线2图7-27过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。15（4）负阻尼运动•相轨迹图如图7－28所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图7－25不同，随着t的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为不稳定的焦点。01图7-2816•系统的相轨迹图如图7-29所示，奇点称为不稳定的节点。1图7-2917•此时相轨迹如图7-30所示。奇点称为鞍点该奇点是不稳定的。022xxxnn图7-30斥力系统的相轨迹18图7-31特征根和奇点的对应关系19二、相轨迹作图法),(xxfx设系统微分方程如xxxfdxxd),(化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是a这条曲线就称为等倾线。axxxf),(令其中为某个常数a1等倾线法20例子•微分方程0xxxxxxdxxd或xax11等倾线是直线，它的方程为21取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。a图7-3222极限环在图7-33中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的极限环。2(1)0xxxx1图7-3323图7-34各种类型的极限环a稳定，b不稳定，c、d半稳定24三、由相平面图求时间解•相轨迹上坐标点移动到点所需的时间，可按下式计算1x2x2112xxxdxtt（7-32）这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。251、用曲线计算时间利用式（7－32）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算。1/x图7-35262、用小圆弧逼近相轨迹计算时间•在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。PAxQBRC如图7-36AD段，可用轴上的P、Q、R点为圆心，以、、为半径的小圆弧来逼近，这样就有ADABBCCDABBCCDttttttt27••代入（7-32）式得sinPAxcosPAOPx令sinsinBABAABABPAtdPA（7-33）28•图7-36用小圆弧逼近相轨迹计算时间29例7-2•图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知AB和A1B1均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。图7-3730•相轨迹ABCD和A1B1C1D1对应的周期运动，他们的周期分别为T和T1秒（角度：弧度）•则有12(2)4,22(12.21)6.43TT317-3B非线性系统相轨迹分析①根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程②画相轨迹图③根据相轨迹图分析系统的运动情况返回子目录32一、继电型系统•系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为继电型系统。图7-38继电型非线性特性33若继电系统的方框图如图7-39所示•研究图中继电特性为图7-38（b)的情况图7-3934•很明显，相平面以直线为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定ec时hcKMhchcKMtctcT||0)()(ch351、在ch的区域KMtctcT)()(系统方程为TKMcck)(001TKMck)(02其中(1/)12()TtctkkeKMt36KMtc)(所以KMc0当(1/)0()()TtctcKMeKM372、在|c|h区域•系统方程为0ccTTdccd1)(100ccTcc（7-42）383、在c-h区域•相轨迹方程为KMtctcT)()(KMc0KMtc)(当时00(1/)0()()()TtctccKMTcKMTeKMt(1/)0()()TtctcKMeKM39图7-40系统当m=+1时的相轨迹40当m=-1时，系统微分方程为•对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。0,0,)()(chchcKMchchcKMtctcT41图7-41系统当m=-1时的相轨迹42图7-42m≠+1振荡趋势加大示意图43图7-43m逐渐减少时的相平面44二、速度反馈对继电系统自由运动的影响图7-44有速度反馈的继电器系统45系统的微分方程为•将此相轨迹图与图7-40比较可看出两者主要是开关线不同。•可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。hccKMhcchccKMtctcT||0)()(46图7—45速度反馈对系统运动过程的影响47三、含有间隙非线性的系统•图7-46间隙非线性和非线性控制系统48方程式：uKx100eMeMuyKe200ybxybxybxyy0490011yMKyMKxbxMKbxMKx110120121MxKxc0120221MxKxc式中bxcMxKxbxcMxKx2121122121相轨迹方程（7-54）（7-55）50图7-47式（7-54）和式（7-55）的相轨迹51图7-48图7-46系统的相平面52图7-49判断开关线所用的对应关系53四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面•图7-50具有非线性放大器的系统54图7-52（a）表示的系统方程为KuccT00eeeeekeucrerrTKueeT得到kKTKT21121假定55（1）阶跃输入r(t)=R•系统方程变为0KeeeT0kKeeeT图7-51阶跃输入下得相轨迹56（2）输入信号r(t)=Vt+R•系统方程为VKeeeT0eeVkKeeeT0ee57图7-52VkKe0，Re0时的相轨迹58图7-53kKe0VKe0,R=0时的相轨迹图7-54VKe0,R=0时的相轨迹59返回子目录7-5描述函数•描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。若输出的一次谐波分量为)sin(sincos)(11111tYtBtAty输入的正弦量为tXsin则描述函数的数学表达式如式（7-75）所示：22111111arctanABYANXXB（7-75）60图7-57理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱61其中201)(cos)(1ttdtyA201)(sin)(1ttdtyB)(tytXsin为非线性特性在输入信号作用下的输出。22111111()arctanABYANXXXB62例7-3•若非线性特性为（7-76）34121xxy)(sin)4121(13201ttdxxXXBN•其特性曲线如图7-58。63令tXxsin)(sin)sin41sin21(13320ttdtXtXXN)(sin2)(sin140220ttdXttd2116321XXBNtXXtysin)16321()(2则有64图7-58式（7-76）的输入-输出特性图7-59描述函数65一、不灵敏区特性的描述函数1sinX)/arcsin(1X2/11)(sin)sin(4ttdtXKB)(sin)(sin[42/2/211ttdXttdKX66（7-83）•根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为12()2arcsin12BNXXKXXXX67图7-60不灵敏区特性及其输入-输出波形68二、饱和特性的描述函数SX1sinXSarcsin11102/21)(sin)(sin4ttdKSttdKXB2/