新湘教版八年级数学上册2.3.1等腰三角形的性质

湘教版八年级数学上册本课内容本节内容2.3.1图中有你熟悉的图形吗？图中这些图形有什么共同的特征？北京五塔寺西安半坡博物馆斜拉桥梁体育观看台架埃及金字塔等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角有两条边相等的三角形.轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。等腰三角形的定义：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。1、动手操作：把一张长方形纸片对折后，剪一个等腰三角形△ABC，其中AB=AC,并画出顶角∠BAC的平分线AD。要求：（只剪一刀）折叠裁剪展开描线思考：AD是∠BAC的平分线吗？为什么?ABCD2、图形变换：作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC,因此：21ABCDABCDAB(C)D(1)射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线______;(2)线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段______;(3)点B的像是点C，点C的像是点______;(4)线段BC的像是线段________;3.填空：从而等腰三角形ABC关于直线______对称;(5)由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段_______;从而AD是底边BC上的_______.(6)由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线_____,因此∠BDA____∠CDA=_____0,从而AD是底边BC上的_______.(7)由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线_____,因此∠B____∠C,因此AD是顶角∠BAC的___________.ABABBCBADDC中线DA=90高CB=角平分线重合的角重合的线段12等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗?∠B与∠C∠1与∠2∠BDA与∠CDAAB与ACAD与ADBD与CD大胆猜想思考：（1）剪出的等腰△ABC是轴对称图形，它有几条对称轴？对应点和对应线段分别有哪些？填入下表（2）线段AD有什么特殊的位置关系？由此得到等腰三角形的性质定理：1.对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。2.角的性质：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”）注意：“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中。几何语言：在△ABC中，∵AB=AC∴__________∠B=C3.边的性质：等腰三角形的两腰相等。(1)∵在△ABC中，AB=ACAD是角平分线，∴⊥，____=_____(2)∵在△ABC中，AB=ACAD是中线，∴⊥，∴∠=∠____(3)∵在△ABC中，AB=ACAD⊥BC，∴∠_____=∠______，_____=______BADCADBADCADADBCADBCBDCDBDCD几何语言：(三线合一)(三线合一)(三线合一)4.线的性质：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合（简称“三线合一”）等边三角形有什么特殊的性质？1.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴,分别是三个内角的平分线所在的直线。2.等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°60°60°60°即：AB=AC=BC3.等边三角形三条边相等.即：∠A=∠B=∠C=60°EFDF例1已知：如右图，在△ABC中，AB＝AC,点D,E在边BC边上，且AD＝AE.求证：BD＝CE证明：作AF⊥BC,垂足为点F，则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高,也是底边上的中线。∴BF=CFDF=EF（三线合一）∴BF-DF=CF-EF即BD=CE解题技巧：在等腰三角形中，作顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线.ABCDE如右图的三角形测平架中，AB＝AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上。（1）AD与BC是否垂直？试说明理由？（2）这时BC处于水平位置，为什么？解：（1）在△ABC中∵AB=AC,BD=CD∴AD⊥BC（三线合一）（2）∵AD⊥BC又A点在铅锤线上而铅锤线与水平线垂直∴BC处于水平位置1.练一练（基础训练）（1）已知等腰三形的一个顶角为36°，则它的两个底角分别为。（2）已知等腰三角形的一个角为110°，则这个三角形的三个内角分别为。72°,72°70°,70°40°,100°110°,35°,35°（3）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角分别为或。注意：在等腰三角形中已知一个内角求另外两个内角或者已知两边求周长都要分类讨论！练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.解：∵在△ABC中，AB=ACAD⊥BC∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=24.5°CD=BD=BC=21212(三线合一）2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°。AP=AD,求∠DPC的度数.解：∵△ABC是等边三角形∴∠C=60°又∵在△DCP中AD=AP∴∠ADP=∠APD=80°（等边对等角）∵∠DPC+∠C=∠ADP(三角形外角定理)∴∠DPC=∠ADP-∠C=80°-60°=20°这节课你有那些收获?等腰三角形的性质等腰三角形的性质内容应用格式性质1ABC性质2ABC等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。∵AB＝AC（已知）∴∠B＝∠C（等边对等角）①∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）∴BD＝DC，AD⊥BC（三线合一）②∵AB＝AC，BD＝DC（已知）∴∠1＝∠2，AD⊥BC（三线合一）③∵AB＝AC，AD⊥BC（已知）∴∠1＝∠2，BD＝DC（三线合一）D12