2018年安徽中考数学专题复习填空压轴题之几何图形操作问题

2018年安徽中考数学专题复习几何操作题★1.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为________．第1题图30°或60°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝12∠ABC，∠BAC＝12∠BAD，AD∥BC，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°.第1题解图★2.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB边于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为________．第2题图43或3【解析】依据相似三角形的判定定理，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC，如解图①，则△AQP∽△ABC，此时AQAB＝APAC，所以AQ＝6×24＝3；二是过点P作∠APQ＝∠ABC，如解图②，则△APQ∽△ABC，此时AQAC＝APAB，所以AQ＝2×46＝43.第2题解图★3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为________．第3题图5或6【解析】∵△BPC是以PB为腰的等腰三角形，∴有两种可能的情况．如解图，当BP＝BC时，∵BC＝6，∴BP＝6；当BP＝PC时，作BC的中垂线P′E交AD于点P′，交BC于点E，则AP′＝12AD＝3，又∵AB＝4，在Rt△ABP′中，∠A＝90°，∴由勾股定理得BP′＝AP′2＋AB2＝32＋42＝5.综上可知，PB的长为5或6.第3题解图★4.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝45°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若AB＝4，当△CEF为直角三角形时，FH的长为________．第4题图22－2或22【解析】连接OA，OB，可得∠AOB＝90°，∵AB＝4，可得OA＝22.由E、F分别是AC、BC的中点，则EF＝12AB＝2.如解图①，当∠EFC＝90°时，△CEF为直角三角形，此时，∠ABC＝90°，∴点E与点O重合，∴FH＝OH－EF＝22－2；如解图②，当∠CEF＝90°时，△CEF为直角三角形，此时，∠CAB＝90°，∴点F与点O重合，∴FH＝OH＝22.第4题解图★5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为________．第5题图185【解析】如解图，连接BF交AE于点H，则AE⊥BF，且BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝AB2＋BE2＝5，∵12AE·BH＝12AB·BE，∴5·BH＝4×3，∴BH＝125，则BF＝2BH＝245，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF＝BC2－BF2＝62－（245）2＝185.第5题解图★6.四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为________．23或43【解析】∵AB＝6，AC⊥BD，∠BAD＝60°，∴OA＝OC＝33，当点E在点O左侧时，CE＝OC＋OE＝43，当点E在点O右侧时，CE＝OC－OE＝23.∴CE的长为23或43.★7.如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝13BC，则矩形纸片ABCD的面积为________．第7题图15【解析】设BE＝a，则BC＝3a，由题意可得，CB＝CB′，CD＝CD′，BE＝B′E＝a，∵B′D′＝2，∴CD′＝3a－2，∴CD＝3a－2，∴AE＝3a－2－a＝2a－2，∴DB′＝CB′2－CD2＝（3a）2－（3a－2）2＝12a－4＝23a－1，在Rt△AB′E与Rt△DCB′中，∵∠AB′E＋∠DB′C＝90°，∠DCB′＋∠DB′C＝90°，∴∠AB′E＝∠DCB′，又∵∠A＝∠D＝90°∴△AB′E∽△DCB′，∴AEB′D＝B′ECB′，即2a－223a－1＝a3a，解得a1＝23或a2＝53.当a＝23时，BC＝2，∵B′D′＝2，CB＝CB′，∴a＝23时不符合题意，舍去；当a＝53时，BC＝5，AB＝CD＝3a－2＝3，∴矩形纸片ABCD的面积为5×3＝15.★8.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为________．第8题图113°或92°【解析】∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，且∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD.①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝12×(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°；②当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.综上所述，∠ACB的度数为113°或92°.★9.在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．0．5或5.5【解析】当E，F在直线AD上，且四边形BCFE是菱形时，有两种情况：(1)当∠BEF是锐角时，如解图①，∵四边形BCFE是菱形，∴FC＝EF＝EB＝BC＝AD＝5，∵AB＝4，∴在Rt△BAE中，根据勾股定理得：AE＝BE2－AB2＝52－42＝3，∵M为EF中点，∴EM＝2.5，∴AM＝AE－EM＝0.5；(2)当∠BEF是钝角时，如解图②，在Rt△CDF中，由勾股定理可得FD＝3，又∵M为EF中点，∴FM＝2.5，∴DM＝FD－FM＝3－2.5＝0.5，∴AM＝AD＋DM＝5＋0.5＝5.5，∴线段AM的长为0.5或5.5.第9题解图★10.菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为__________．5cm或73cm【解析】分两种情况：当点B在正方形ACEF内部时，如解图①，过点B作BM⊥AF于点M，则BM＝OA＝3cm，AM＝OB＝2cm，AF＝AC＝6cm，∴MF＝6－2＝4cm，∴BF＝BM2＋MF2＝5cm；当点B在正方形ACEF外部时，如解图②，过点B作BN⊥AF，交FA的延长线于点N，则BN＝OA＝3cm，AN＝OB＝2cm，AF＝AC＝6cm，∴NF＝AF＋AN＝6＋2＝8cm，∴BF＝BN2＋NF2＝73cm.综上所述，BF长为5cm或73cm.第10题解图★11.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC＝3，OA＝26，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为________．第11题图(665，35)【解析】如解图，过点G作GF⊥x轴于点F，由折叠知，OG＝OC＝3，CD＝GD＝BD＝6，∵∠B＝∠DGE＝90°，BD＝GD，∴Rt△BDE≌Rt△GDE(HL)，∴EB＝EG，设EG＝EB＝x，则AE＝3－x，OE＝x＋3，∵在Rt△AEO中，OE2－AE2＝OA2，∴(3＋x)2－(3－x)2＝(26)2，解得x＝2，∴AE＝3－2＝1，OE＝3＋2＝5，∵GF∥AE，∴△OGF∽△OEA，∴GFAE＝OGOE＝OFOA，即GF1＝35＝OF26，∴GF＝35，OF＝665，∴G(665，35)．第11题解图★12.如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是边CD上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为A′，CA′的长度最小时，CQ的长为________．第12题图7【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H，∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH＝32AB＝43，AH＝BH＝4，∵PB＝3，∴HP＝1，在Rt△CHP中，CP＝（43）2＋12＝7，∵四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ＝∠CPQ，∵CD∥AB，∴∠APQ＝∠CQP，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CQ＝CP＝7.第12题解图★13.正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE＝DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H.若AB＝3，AG＝5，则线段EH的长为________．453或253【解析】如解图①、②所示，∵正方形的边长为3，∴AC＝BD＝32，OA＝OB＝OC＝OD＝322，又∵AG＝5，∴在Rt△AOG中，由勾股定理得OG＝22，∴BG＝2，DG＝22，在解图①中，设EF交BC于点K，易得△BKG∽△DFG，则BKDF＝BGDG＝12，设BK＝x，则BE＝DF＝2x，∵△EBK∽△EAF，∴BKAF＝BEAE，∴x3－2x＝2x3＋2x，解得x＝12，∴BE＝1，AF＝2，∴在Rt△BEK中，EK＝52，∵AE＝AB＋BE＝4，∴EF＝AE2＋AF2＝42＋22＝25，∴KF＝EF－EK＝352，∴GK＝52，又∵△OGH∽△OAG，∴OG2＝OH·OA，∴OH＝26，在Rt△OHG中，GH＝53，∴EH＝EK＋KG＋GH＝52＋52＋53＝453；在解图②中，设EF交CD于点K，同理可得EH＝253.第13题解图★14.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为________．第14题图23【解析】∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3－x，解得：x＝1，∴AE＝CE＝2，利用勾股定理得出：BC2＋BE2＝EC2，BC＝EC2－BE2＝22－12＝3，则菱形的面积是：AE·BC＝23.★15.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝5，AC＝8.将△AOD绕点A旋转90°得到△AO′D′，O′、D′分别是O、D的对应点，D与O′的距离为________．第15题图17或65【解析】由菱形的性质与勾股定理可得∠AOD＝90°，AO＝4，OD＝3，由旋转的性质可得AO′＝AO＝4，如解图①，将△AOD绕点A逆时针旋转得到△AO′D′时，过点D作DP⊥AO′于点P，可得四边形PAOD为矩形，∴PA＝OD＝3，PD＝OA＝4，∴PO′＝1，在Rt△DPO′中，由勾股定理可得O′D＝17；如解图②，将△AOD绕点A顺时针旋转得到△AO′D′时，分别延长DB、O′D′，延长线相交于点P，可得四边形OAO′P为正方形，∴OP＝AO′＝AO＝4，O′P＝OA＝4，∴DP＝7，在Rt△DPO′中，由勾股定理可得O′D＝65.第15题解图★16.如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，连接DD′，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为________．第16题图52或2【解析】如解图①，当点D′落在BC上时，∠DCD′＝90°，此时△DD′C是直角三角形．依题意，得AD＝AD′＝5，在Rt△ABD′中，∵AB＝4，∴BD′＝3，∴CD′＝2.设DE＝x，则EC＝4－x，ED′＝x，在Rt△EC