12.1.3-曲线和方程

第十二章圆锥曲线12.1.2曲线和方程12.1.3曲线和方程一、曲线的交点两条曲线的交点就是这两条曲线的公共点.两个交点一个交点(切点)无穷多个交点曲线的方程分别是12(,)0,(,)0FxyFxy12,CC点是曲线的交点(,)Pab12,CC12(,)0(,)0FabFab求的交点，就是解方程组12,CC12(,)0(,)0FxyFxy方程组的解数就是交点个数一、曲线的交点两条曲线的交点就是这两条曲线的公共点.例1.求下列两条曲线的交点坐标：(1)22:2,:1lyxCxy(2)22212:50,:250CxyCxy解:(1)2221yxxyy①②消去并整理得45x③把方程③的解代入方程①，得到方程组的解53,44xy因此两条曲线的交点坐标为53(,)44例1.求下列两条曲线的交点坐标：(2)22212:50,:250CxyCxy解:(2)22250250xyxyx①②消去并整理得2200yy把方程③的解代入方程①，150yx因此两条曲线的三个交点坐标分别为：(0,5),(3,4),(3,4)③125,4yy得到方程组的解:243yx例2.取何值时，直线与曲线22yx有两个公共点？仅有一个公共点？没有公共点？k2ykx解:222ykxyxy①②消去并整理得22(42)40kxkx③记22(42)16164kkk当2,00k，即时1(,0)(0,)4k(i)方程③有两个不同的值，代入中即可得到x①方程组有两组不同的解因此直线与曲线有两个公共点.当20k，即时1{0,}4k(ii)或200k方程③有唯一的值，由可得方程组的一组解x①因此直线与曲线有一个公共点.例2.取何值时，直线与曲线22yx有两个公共点？仅有一个公共点？没有公共点？k2ykx解:222ykxyxy①②消去并整理得22(42)40kxkx③记22(42)16164kkk(iii)当时，直线与曲线无公共点.1(,)4k例3.求直线被曲线21yx23yx截得的线段的长.AB解:2213yxyxy①②消去并整理得2240xx③12325,325yy1215,15xx解方程③得：代入方程①中，解得：221212()()ABxxyy线段的长即两个交点间的距离.AB,AB22(25)(45)分析：10二、弦长公式斜率为的直线与曲线交于点kl,AB若点的横坐标分别为，则成立,AB12,xx212||1||ABkxxABxy证：22||()()ABxy根据斜率定义ykx22||()()ABxkx21||kx证毕2121||kxx课堂练习2.求直线被曲线310xy22yx截得的线段的长及线段的中点坐标.ABAB1.过原点的直线与抛物线只有一个公共21yx点，求直线的方程.课堂练习答案1.满足条件的直线有三条：0,2,2xyxyx2.2122701(3)||9ABxx中点41(,)93M利用韦达定理