光学三波耦合过程教学课件

第三章光学三波耦合过程§3.1三波耦合方程§3.1.1各向同性介质中的二阶非线性效应二阶效应的场具有两个不同频率的场分量：1212.ititEtEeEecc(3.1.1)对于各向同性介质，二阶非线性极化强度为：(2)(2)20()()PtEt(3.1.2)将式(3.1.1)代入(3.1.2)，将相同频率成分的项合并后得到：1122122()2112(2)(2)**011222()2*2122()2().2ititititEeEEePtEEEEccEeEEe上式可以简化为(2)()()niwtnnPtPe(3.1.3)n的值可以从负到正，包含各种频率成分及其共轭复数量。这些频率成分以及它们对应的二阶非线性效应如下：(2)2101(2)2202(2)12012(2)*12012(2)**01122(2)(2)()2()2(0)2()PEPEPEEPEEPEEEE光倍频光和频光差频光整流光倍频本节目的:讨论如何利用各向同性介质慢变近似一阶频域波方程，近似地描述各向异性晶体介质中的二阶非线性效应。§3.1.2各向异性晶体介质中二阶非线性效应的近似描述考虑沿Z方向传播的单色平面波：波矢k沿Z方向，与能流方向有一个夹角,D沿X方向；H沿Y方向，垂直于D、E和k组成的平面内。HEI图3.1.1电磁波各矢量之间的关系频率的单色平面波的光电场和非线性极化强度分别表示为：为电场方向的单位矢量eˆ可将和表示为两个互相垂直的分量之和，即垂直于k的横向分量(以T表示)和平形于k的纵向分量（以S表示）：),(zE),(zNLP(,)(,)(,)EEETSzzz(,)(,)(,)NLNLNLTSzzzPPP(3.1.4)(3.1.5)(3.1.6)()()ˆ(,()()ikztikztzzeEze）EEe(')(,)()NLNLikztzzePP横向分量遵循各向同性介质的慢变振幅近似频域波方程0()()2EPNLikzTTzizezcn(3.1.7)在方程(3.1.5)的两边分别点乘。利用eˆ2ˆcoscoseETTEEPPNLNLT20()ˆ()2cosePNLikzEzizezcn(3.1.8)这是各向异性介质的慢变振幅近似波方程若取近似1cos2则可以得到：0()ˆ()2ePNLikzEzizezcn(3.1.9)'kkk其中（次场波矢－原场波矢）对二阶非线性介质，两光波场和作用于介质，引起二阶极化，产生新波场。这是一个和频过程，三个波的频率满足关系)(1E)(2E)(3E213图3.1.2三波和频过程示意图事实上还存在着差频关系231132和三波互相耦合时，三种频率的光子必须满足能量守恒定律：213要实现三波的最佳耦合，三种频率的光子还必须满足动量守恒定律：213kkk(3.1.10)(3.1.11)频率为、、的三个沿z方向传播的单色平面波场，相互作用产生的二阶非线性极化强度分别为（简并因子）1232D(2)(2)*1012323(,)2(;,):(,)(,)PχEEzzz(2)(2)*2023131(,)2(;,):(,)(,)PχEEzzz(2)(2)3031212(,)2(;,):(,)(,)PχEEzzz(3.1.12)(3.1.13)(3.1.14)将三个电场分别记为111ˆ(,)EezE222ˆ(,)EeEz333ˆ(,)zeEE(2)(2)*101232323ˆˆ()2(;,):zEEPχee(2)(2)*202313131ˆˆ()2(;,):zEEPχee(2)(2)303121212ˆˆ()2(;,):PχeezEE(3.1.17)(3.1.16)(3.1.15)式(3.1.15)～(3.1.17)分别描述两个差频和一个和频过程代入3.1.9可得到：(2)*11112323231()ˆˆˆ(;,):eχeeikzdEziEEedzcn(2)*22223131312()ˆˆˆ(;,):eχeeikzdEziEEedzcn(2)33331212123()ˆˆˆ(;,):eχeeikzdEziEEedzcn(3.1.18)(3.1.20)(3.1.19)根据极化率的频率置换对称性，得到：(2)(2)(2)(2)112323223131331212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(;,):(;,):(;,):eχeeeχeeeχeeeff(2)eff是实数，称为有效非线性极化率，用以量度三个波之间的耦合强度。则（3.1.18）～（3.1.20）可以表示为：(2)*11123231()(;,)ikzEziEEezcn(2)*22231312()(;,)ikzEziEEezcn(2)33312123()(;,)ikzEziEEezcn(3.1.21)(3.1.22)(3.1.23)式中相位失配因子为123kkkk对于方程(3.1.24)、(3.1.25)和(3.1.26)，的含义分别是：k132123()kkkkkkk132123()kkkkkkk123312[()]()kkkkkkk（差频）（差频）（和频）0k若，则三波是相位匹配的，三个光子满足动量守恒。§3.2光学二次谐波光学二次谐波（光学倍频）是三波混频的一种特例，也是最早发现的一种非线性光学现象。1961年Franken等人发现倍频现象的实验装置如下图：红宝石激光（波长λ=694.3nm）,产生倍频光（波长λ=347.15nm），被棱镜分出。图3.2.1Franken等人的倍频实验装置频率为ω的单色平面光波通过长度为L的倍频晶体，产生频率为2ω的倍频光如图3.2.2所示：（假设晶体对这两种光都没有吸收）图3.2.2光学倍频过程讨论晶体出射面的倍频光强度和倍频转换效率1.不消耗基频光的小信号近似情况2.消耗基频光的高转变效率情况§3.2.1小信号近似情况采用三波耦合方程(3.1.21)～(3.1.23)，设1232由于在小信号近似下，和随z的变化可以忽略，得到1()Ez2()Ez1()0dEzdz2()0dEzdz2(2)313()(2;,)()ikzdEziEzedzcn(3.2.1)(3.2.2)(3.2.3)132kkk式中(3.2.4)假定晶体的长度为L，其中边界条件为：11()(0)EzE0)0(3E得到输出二次谐波的振幅(2)2313()(0)(1)ikLELEecnk引进倍频系数2)2(d(3.2.5)(3.2.6)nn123nn令则3.2.5式变为)1)(0(2)(2123kLieEkcndLE(3.2.7)考虑到基波在处的光强和二次谐波在处的光强分别为：0zLz210121EcnI2320321EcnI可以得到：221223022232/)2/sin(8kLkLInncLdI或222223132028sinc2dLkLIIcnn(3.2.8)(3.2.9)函数与的关系示于图3.2.32sinc/2kL2/kL图3.2.3函数与的关系2sinc/2kL2/kL光倍频的效率可表为倍频光功率与基频光功率之比3P1P2222331321102()8sinc(0)2PLIPdLkLPIcnnS(3.2.10)式中用到S为光束的截面积211/EPS在小信号下，据式(3.2.9)和(3.2.10)可以得到以下结论：1.倍频光强与基频光强的平方成正比，这说明一个倍频光子是由两个基频光子湮灭后产生的。符合能量守恒定律。2.对一定的，倍频光功率与晶体倍频系数d的平方成正比；较小时与晶体长度L的平方成正比。kk3.当时，，倍频光功率与倍频效率最大，符合相位匹配条件。为实现相位匹配，要使倍频光与基频光同方向，并且使折射率满足4.当时，对一定的，定义晶体长度2/21sinckLnn20k0kkLc(3.2.11)为相干长度，此时。若晶体长度大于，倍率很快下降，以后作周期性变化。5.倍频效率依赖于基频光的功率密度，可以通过聚焦基频光的办法来提高倍频效率。22ckLcLk§3.2.2基波光高消耗情况在高转换效率下基波会被消耗。此时，须从耦合波方程组(3.1.21)-(3.1.23)出发求解。设在相位匹配条件下，0)(1dzzdE0k123nnnn对基频光有：倍频光有：1212,,2EED32,1D且(2)2d可得到*113231()2()2EzidEEzcnEzidEzcn(3.2.12)(3.2.13)对3.2.12两边取复数共轭再乘以，对3.2.13两边乘以,两式再相加，得到：1E*3E2213[|()||()|]0dEzEzdz(3.2.14)即2213|()||()|EzEzC由边界条件：得到：31(0)0,(0)0EE222131|()||()||(0)|EzEzE可见：在晶体内任意z坐标点，基频光强与倍频光强之和等于入射起始点的基频光强，倍频光的产生是以消耗基频光为代价的。对3.2.12两边取模，再将式3.2.14代入，并令2dKcn得到：231131|()/(0)|(0)[1|()/(0)|]dEzEKEEzEdz(3.2.15)令对3.2.15两边分离变量，再积分求解31|()/(0)|EzE得到：311|()||(0)|tanh[|(0)|]EzEKEz(3.2.16)将3.2.16代入3.2.14得到：111|()||(0)|sech[|(0)|]EzEKEz(3.2.17)定义有效倍频长度得到：图3.2.4画出了和相对于的值分别依赖的变化关系。111[|(0)|]2(0)SHGcnLKAdE3111|()||(0)|tanh[/]|()||(0)|sech[/]zzEzEzLEzEzL(3.2.18)(3.2.19)3|()|Ez1|()|Ez1(0)E/SHGzL图3.2.4倍频光振幅与基波光振幅的相对值随晶体长度的变化当时，当时，可见当倍频晶体长度达到有效倍频长度的2倍时，SHGLztanh(1)0.762tanh(2)0.96sech(2)0.266sech(1)0.648SHGLz2已趋近，即接近饱和，转换效率接近1。3()Ez1(0)E这是平面光波条件下的结果，实际上对高斯光束，L=2cm的KDP晶体，其转换效率小于60％。最后给出基频耗尽条件下的倍频转换效率公式222tanhSHGPnLPnL(3.2.20)§3.2.3相位匹配技术倍频光和基频光共线的相位匹配条件是1320kkk由波矢和相速度公式得：nckncvcncn2231相位匹配条件要求晶体中倍频光的折射率等于基频光的折射率，倍频光的相速度等于基频光的相速度。31nn13vv(3.2.21)怎样在一块晶体中实现这种条件呢？一般是利用静态的各向异性。自然界的晶体有七大晶系，它们可以分为三类，即双轴晶体、单轴晶体和各向同性晶体。表3.1晶体的分类晶系光学分类三斜，单斜，正交双轴晶体三角，四方，六角单轴晶体正单轴晶体en0n负单轴晶体0nen立方各相同性晶体双轴晶体和单轴晶体都是各向