LTI系统频域分析

§4.8LTI系统的频域分析•一、频率响应•二、无失真传输•三、理想低通滤波器的响应一、频率响应基本信号ejωt激励下的零状态响应任意信号f(t)可以分解为无穷多个虚指数信号ejωt的线性组合：dejFtftj)(21)(dtetfjFtj)()(：其中各个虚指数信号ejωt的系数为：2)(djF基本信号ejωt的零状态响应为：)()(1thetytjzsdehtj)()(dehejtj)()()(1jHetytjzs一般信号f(t)tjtjejHe)(dejFtj)(21dejFtj)(21)]()([FT)()(1jHjFtytfzsjFjHjYzs)()()()(jFjYjHzs系统函数dejHjFtj)()(21dejHjFtj)()(21系统函数H(jw)的物理含义：1、H(jw)是描述系统的重要参数，它与系统本身的特性有关，而与激励无关。系统由于H(jw)的作用将导致输出信号相对于输人信号在幅度和相位两个方面的变化。2、H(jw)是系统冲激响应h(t)的傅立叶变换。)(th)(tf)(*)()(tfthtyzs)(jwH)(jwF)()()(jwFjwHjwYzs傅立叶变换分析法和卷积分析法的相似之处：两种分析方法都是对于信号作单元信号的分解，然后再求取系统在各个单元信号作用下的响应，最后再进行叠加。其不同之处在于：在卷积分析法中，其单元信号为加权的冲激信号，而在傅立叶变换分析法中，其单元信号为加权的虚指数信号，前者是直接求响应的时域积分的方法，后者是间接求响应的变换域的方法。傅立叶变换分析法的步骤：(1)将输入激励f(t)变换为频域的F(jw)；(2)确定系统的系统函数H(jw)；(3)求出响应的傅立叶变换Yzs(jw)=H(jw)F(jw)；(4)再从频域返回到时域，即从Yzs(jw)求出yzs(t)。例：微分方程为求时系统的零状态响应。解：对微分方程两边取Fourier变换：)()(2)(tftyty)()(tetft)()(2)(jFjYjYj21)()()(jjFjYjH)()()(jFtetft频率响应函数：)()()(2teetytt：求傅立叶反变换得)()()(jFjHjY)1)(2(1jj)1(1)2(1jj11j互联系统的)(jH*级联)j()j()j()j(321HHHH*并联)j()j()j()j(321HHHHH1(j)H2(j)H3(j))(tx)(tyH1(j)H2(j)H3(j))(tx)(ty)(tx)(ty)()()]()()([12jYjHjHjYjX*反馈联结)(1jH)(2jH)]()(1)[()()(211jHjHjYjHjX)()(1)()()()(211jHjHjHjXjYjH).(,/3||0/3||1)(3cos)(2sin)(tysradwsradwjwHttstttf求输出，，，，例：已知)(thf(t)s(t)y(t)wH(jw)-3031解：首先画出频域模型X(jw))(jwHF(jw)S(jw)Y(jw)*)()(21)(jwSjwFjwX)()(tfjwF)2()(wSatg)2(4)(44wSatg得：令)]2(4[)2(221tSatSa)(2421wg)()(4wgjwF)]3()3([)(jwS)(*)(21)(jwSjwFjwX)]3()3([*)(214)]3()3([244wgwg)2(2tSawF(jw)-202wX(jw)-5-3-1013521wY(jw)-5-3-101352)]2()2([2)(22wgwgjwY)(22wg])[(21)(22tjtjeetSaty)2cos()(ttSa)(21)(22tSawg)(2tSa二、无失真传输•输出信号与输入信号相比，仅有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化，这就是信号的无失真传输。)()(dttKfty输入输出djwtejwKFjwY)()(djwteKjwH)(无失真传输的幅频和相频特性为：dtKjH)(dtjHK0幅频特性|H(jw)|为一常数相频特性为通过原点的直线•延迟时间是相频特性斜率的负值ddtd•无失真传输系统的冲激响应dttKth)(无失真传输系统的冲激响应也是冲激函数，但有时间延迟。)()(0ttkth——时域表征*信号传输的不失真条件：dtjtwKjHKejHd)(,|)(|,)(K0j|)(|jH0)(通常，系统若在待传输信号的带宽范围内满足不失真条件，则认为该系统对这一信号是不失真系统。无失真地传输，系统应满足两个条件：（1）系统的幅频特性|H(jw)|在整个频率范围内为常数，即系统的通频带应为无穷大；（2）系统的相频持性在整个频率范围内应与w成正比。三、理想低通滤波器的响应•理想低通滤波器允许低于某一角频率的信号通过，而阻止角频率高于该频率的信号通过。这个频率称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应为：cctjdejH||0||(）理想低通滤波器可视为频域的一个门函数。)(0cc1)(jH理想滤波器的分类|)(|jwH-wc0wcw|)(|jwH-wc0wcw|)(|jwHw|)(|jwHw低通高通带通带阻-w2-w10w1w2通频带-w2-w10w1w2理想低通滤波器的冲激响应：)(FT)(FT)(211cdgejHthtj2)(Satg)(FT)(21cdgethtj－td非因果系统（不可实现）cw2令：)]([)(dccttSath)(22gtSa物理可实现系统•物理可实现系统在t0的冲激响应必须为零，在频域，响应函数必须是平方可积的。•物理可实现系统在时域必须满足“因果条件”。物理可实现系统在频域必须是平方可积的djH2)(例：已知系统的输入f(t)与输出y(t)的关系如下：计算该系统的冲激响应，并判定系统是否为因果系统。deftyttt21)(2)1()()]2()1([)1(2ttetdethttt21)(2)1()()(2)1(te解：)1(2)1(tedethttt21)1(2)1()(dxxettt12)1(2)(x令τ－1－10121h(t)t冲激响应出现在激励施加于系统之前，为非因果系统