工程中的数值分析

《工程中的数值分析》开放性考试题目：工程中的数值分析分院：建筑与土木工程系班级：14土木工程本一姓名：陈凯学号：14219114125完成日期：2016年12月14日温州大学瓯江学院教务部二○一二年十一月制1.1二分法的和算法及Excel实现原理:设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)0由闭区间上连续函数的性质及定理2-1可知,方程(2.2)在区间(a,b)内至少有一个实根.二分法的基本思想是:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号,进一步缩小有根区间,将有根区间的长度缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根的近似值.算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c).(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2)若f(a)·f(c)0,则令b=c;(3)若f(c)·f(b)0,则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2.同理“=IF(f(中点值)0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b.如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=φ(x),并且假设φ(x)为连续函数,任取初值x0,代入方程得到x1=φ(x0),x2=φ(x1)····xk+1=φ(xk),k=0,1,2,····称为求解非线性方程组的简单迭代法,称φ(x)为迭代函数,xk称为第k步迭代值.若{xk}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.算法：（1）确定初值在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。（2）方程化为等价方程，并定义迭代格式（3）迭代输入初值x，输入迭代格式，并往下复制下去（4）在输入f的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。Excel实现:x3-x+1区间端点a=-1b=0xf(x)-1-1-0.9-0.629-0.8-0.312-0.7-0.043-0.60.184-0.50.375-0.40.536-0.30.673-0.20.792-0.10.899迭代式:xk+1=(xk-1)^1/311-0.49999381.37499844812-0.49999791.37499948313-0.49999931.37499982814-0.49999981.37499994315-0.49999991.37499998116-0.50000001.37499999417-0.50000001.37499999818-0.50000001.37499999919-0.50000001.37520-0.50000001.37521-0.50000001.375f(x19)=1.375不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数满足下列两项条件：，）（baCx1(1)对任意，有，bxabax(2)存在正数L1，使对任意，有，1)(bax,Lx则迭代过程）（k1kxx对于任意初值。的根均收敛于方程，xxbax0(3)若方程有根，，，只要）内连续，则存在（的某领域在，且）（，，0x0U1）收敛（就有迭代法k1kxx。1.3Newton迭代法的原理和算法及Excel实现。原理：Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f（x）=0在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下：将f（x）在xk作Taylor一阶展开f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk)+1/2!f’’(§)(x-xk)2,§介于x和xk之间.略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x，作为新的近似根xk+1：xk+1=xk-f(xk)/f’(xk),k=0,1,2,3······称为Newton迭代法算法:先假定方程的有根区间为[a,b]，计算[a,b]区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f（a0）0,f（b0）0时，[a0,b0]即为方程的有根区间。将有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。求得方程f（x）的一次求导公式f´（x），得到迭代公式xk+1=xk-f（xk）/f´（xk），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的x值，并计算对应的函数值，新的x值代入迭代公式中继续计算出下一项的x值，重复步骤，直到x的值相同不再变化，此x值即为方程的近似解。Excel实现:迭代法求方程x^3-x-1确定初值在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。方程化为等价方程，并定义迭代公式为x-(x^3-x-1)/3x^2-1上图知迭代初值1.4区间端点a=1b=2作图数据区xf(x)1-11.1-0.7691.2-0.4721.3-0.1031.40.3441.50.8751.61.4961.72.2131.83.0321.93.95925迭代公式为x-(x^3-x-1)/3x^2-1不动点迭代kxkf(xk)01.40.34411.3295081970.02051991621.3247392029.06038E-0531.3247179581.79368E-0941.324717957051.3247179570F(x4)=0,方程解为1.324717957-2-101234560.50.70.91.11.31.51.71.92.1系列12.1线性方程组的数值求解的原理和算法及Excel实现。Gauss消去法原理:设有线性方程组，将其增广矩阵（A丨b）通过初等行变化为（A(n)丨b（n）），A(n)为上三角阵，在经过回代解除与原方程组同解的三角形方程组A(n)x=b(n)的解，得到方程组的解。算法：把方程组化为上三角形方程组，做消元的步骤，再做回带的步骤，解上三角形方程组A(n)x=b(n)。Excel实现：x1+x2-4x4=1-x1+4x2+x3+3x4=-2x1+3x2+5x3-4x4=-42x2+2x3-3x4=-2Ab120-41-1413-2135-4-4022-3-2120-41-161-1-11150-5022-3-2120-4161-1-10.1666666674.8333333330.166666667-4.8333333330.3333333330.333333333-3-0.333333333120-41161-1-104.8333333331-4.833333333-10.068965517-3.01149425300三角分解法原理：将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵的乘积A=LU，进而将原方程组的求解转化为两个三角形方程组的求解。若有三角阵LU,使A=LU,则方程组Ax=b与方程组LUx=b等价，而后者等价于两个三角形线性方程组：Ly=b，Ux=y。算法：将线性方程组的系数矩阵A分解为三角形方程组的乘积LU，称为矩阵A的LU分解；再将线性方程组的求解转换为三角形方程组的求解。A稠密-----LU分解法A对称-----LDL分解法A正定-----LL分解法A三对角线------追赶法Excel实现:新建Excel表格,依次按顺序输入矩阵数据一句矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵原理,依次从A-D列数据从下至上依照公式计算逆矩阵数据上三角形矩阵求逆U4232103114U-10.25-0.5-0.750.437510-0.751-0.250.253.1Lagrange插值的原理和算法及Excel实现；原理:将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。n=1时，设ixfiy10i，，.作直线方程：011001000101001001010)(1)(1)(yxxyxxyxxxxyxxyxxyxxxxxxyyy令101001011xyxxxxyxxxxL，称1L为两点式插值或线性插值.2n时，设.2,1,0,yixfii令：,x2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxL称2L为三点式插值或抛物插值.算法:先建立一个Excle数据表:插值节点xiABCDyiEFGH插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)a在单元格中输入插值点a求基函数L0=(a-B)*(a-C)*(a-E)/(E-F)/(E-G)/(E-H)L1=(a-A)*(a-C)*(a-D)/(F-E)/(F-G)/(F-H)以此类推求至L3,再求出L3(x).再输入最后一个基函数L3(x)的计算公式：=SUMPRODUCT公式得到f（x）的近似值Excel实现:插值节点xi1234yi18201517插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062517.5作图数据区点数:100xL0L1L2L3L3(x)11000181.030.94589550.0877635-0.04321350.009554518.2956131.060.8935640.171108-0.0829080.01823618.5727041.090.84297850.2501145-0.11916450.026071518.8316511.120.7941120.324864-0.1520640.03308819.0728321.150.74693750.3954375-0.18168750.039312519.2966251.180.7014280.461916-0.2081160.04477219.5034083.2Newton插值的原理和算法及Excel实现。原理：牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)。改写：，21LL),(001010001010101001011xxxxxfxfxfxxxxyyyyxxxxyxxxxxL.1012010102020012102xxxxxxxxxfxfxxxfxfxxxxxfxfxfxL记,,,,,,,yzyxfzxfzyxfxyxfyfyxf则18171820151717.51012141618202211.522.533.54拉格朗日插值图形L3插值节点插值点两点公式可改为：;,01001xxxxfxfxN三点公式可改为：.,,,1021