微分几何习题及答案解析.pdf

微分几何主要习题解答26第一章曲线论§2向量函数5.向量函数)(tr具有固定方向的充要条件是)(tr×)('tr=0。分析：一个向量函数)(tr一般可以写成)(tr=)(tλ)(te的形式，其中)(te为单位向量函数，)(tλ为数量函数，那么)(tr具有固定方向的充要条件是)(te具有固定方向，即)(te为常向量，（因为)(te的长度固定）。证对于向量函数)(tr，设)(te为其单位向量，则)(tr=)(tλ)(te，若)(tr具有固定方向，则)(te为常向量，那么)('tr=)('tλe，所以r×'r=λ'λ（e×e）=0。反之，若r×'r=0，对)(tr=)(tλ)(te求微商得'r='λe+λ'e，于是r×'r=2λ（e×'e）=0，则有λ=0或e×'e=0。当)(tλ=0时，)(tr=0可与任意方向平行；当λ≠0时，有e×'e=0，而（e×'e2)=22'ee-(e·'e2)＝2'e，（因为e具有固定长，e·'e=0），所以'e=0，即e为常向量。所以，)(tr具有固定方向。6．向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是（r'r''r）=0。分析：向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(tn，使)(tr·n=0，所以我们要寻求这个向量n及n与'r，''r的关系。证若)(tr平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(tr·n=0。两次求微商得'r·n=0，''r·n=0，即向量r，'r，''r垂直于同一非零向量n，因而共面，即（r'r''r）=0。反之,若（r'r''r）=0，则有r×'r=0或r×'r≠0。若r×'r=0，由上题知)(tr具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×'r≠0，则存在数量函数)(tλ、)(tµ，使''r=rλ+µ'r①微分几何主要习题解答27令n=r×'r，则n≠0，且)(tr⊥)(tn。对n=r×'r求微商并将①式代入得'n=r×''r=µ（r×'r）=µn，于是n×'n=0，由上题知n有固定方向，而)(tr⊥n，即)(tr平行于固定平面。§3曲线的概念3.证明圆柱螺线r={aθcos,aθsin,θb}(+∞∞−θ)的切线和z轴作固定角。证明'r={-aθsin,aθcos,b},设切线与z轴夹角为ϕ,则ϕcos=22||||'baberkr+=⋅为常数，故ϕ为定角（其中k为z轴的单位向量）。10.将圆柱螺线r={atcos，atsin，bt}化为自然参数表示。解'r={-atsin,atcos,b}，s=tbadtrt220|'|+=∫，所以22bast+=，代入原方程得r={acos22bas+,asin22bas+,22babs+}§4空间曲线1．求圆柱螺线x=atcos，y=atsin，z=bt在任意点的密切平面的方程。解'r={-atsin,atcos,b},''r={-atcos,-atsin,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为0sincoscossinsincostatabtatabtztaytax−−−−−−=0，即(btsin)x-(btcos)y+az-abt=0.2.求曲线r={ttsin,ttcos,tte}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。微分几何主要习题解答28解原点对应t=0,'r(0)={tsin+ttcos,tcos-ttsin,te+tte0}=t={0,1,1}，=)0(''r{2tcos+ttcos,tcos-ttsin,2te+tte0}=t={2,0,2}，所以切线方程是110zyx==，法面方程是y+z=0；密切平面方程是202110zyx=0，即x+y-z=0，主法线的方程是=+=−+00zyzyx即112zyx=−=；从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式111−==zyx。3．证明圆柱螺线x=atcos，y=atsin，z=bt的主法线和z轴垂直相交。证'r={-atsin,atcos,b},''r={-atcos,-atsin,0}，由'r⊥''r知''r为主法线的方向向量，而''r0=⋅k所以主法线与z轴垂直；主法线方程是0sinsincoscosbtzttayttax−=−=−与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x=cosαcost,y=cosαsint,z=tsinα的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解'r={-cosαsint,cosαcost,sinα},''r={-cosαcost,-cosαsint,0}=××=|'''|'''rrrrγ{sinαsint,-sinαcost,cosα}新曲线的方程为r={cosαcost+sinαsint，cosαsint-sinαcost，tsinα+cosα}对于新曲线'r={-cosαsint+sinαcost，cosαcost+sinαsint，sinα}={sin(α-t),cos(α-t),sinα},''r={-cos(α-t),sin(α-t),0},其密切平面的方程是微分几何主要习题解答2900)sin()cos(sin)cos()sin(sinsincoscoscos=−−−−−−−−tataatataatztaytax即sinαsin(t-α)x–sinαcos(t-α)y+z–tsinα–cosα=0.5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证方法一：⇒设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(tr具有固定长，所以r·'r=0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。⇐若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r·'r=0，)(tr具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：()rrt=是球面曲线⇔存在定点0r（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使220()rrR−=⇔02()0rrr′−⋅=，即0()0rrr′−⋅=（﹡）而过曲线()rrt=上任一点的法平面方程为()0rrρ′−⋅=。可知法平面过球面中心⇔（﹡）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。7．求以下曲面的曲率和挠率⑴},sinh,cosh{attatar=,⑵)0)}(3(,3),3({323attaatttar+−=。解⑴},cosh,sinh{'atatar=，}0,sinh,cosh{''tatar=，}0,cosh,{sinh'''ttar=，}1,cosh,sinh{'''−−=×ttarr，所以tatatarrrk2323cosh21)cosh2(cosh2|'||'''|==×=微分几何主要习题解答30tataarrrrr22422cosh21cosh2)'''()''','','(==×=τ。⑵}1,2,1{3'22tttar+−=，}1,0,1{6'''},,1,{6''−=−=arttar，'r×''r=}1,2,1{18222+−−ttta，22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|+=++=×=tatatarrrk22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','(+=+×××=×=tataarrrrrτ。8．已知曲线}2cos,sin,{cos33tttr=，⑴求基本向量γβα,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解⑴}4,sin3,cos3{cossin}2sin2,cossin3,sincos3{'22−−=−−=tttttttttr，,cossin5|)('|tttrdtds==（设sintcost0），则}54,sin53,cos53{|'|'−−==ttrrα，}0,cos53,sin53{cossin51ttttdsdtdtd==•αα，}0,cos,{sin||tt==••ααβ，}53,sin54,cos54{−−=×=ttβαγ，⑵ttkcossin253||==•α，}0,cos,sin{cossin254tttt−−=•γ，由于•γ与β方向相反，所以ttcossin254||==•γτ⑶显然以上所得τγβα,,,••k满足βτγβα−==••,k，而γτακβ+−=−=•}0,sin,{coscossin51tttt也满足伏雷内公式。9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr，则曲线在任意点的切线方程是)(')(trtrλρ=−，由条件切线都过坐标原点，所以微分几何主要习题解答31)(')(trtrλ=，可见r∥'r，所以r具有固定方向，故r＝)(tr是直线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr，则曲线在任意点的切线方程是)(')(trtrλρ=−，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(trtrλ=，于是'r＝λ''r，从而'r×''r＝0，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。方法三：设定点为0r，曲线的方程为r＝()rs，则曲线在任意点的切线方程是()()rssρλα−=，由条件切线都过定点0r，所以0()()rrssλα−=，两端求导得:()()ssαλαλκβ′−=+,即(1)()0sλαλκβ′++=，而(),()ssαβ无关，所以10λ′+=，可知0,()0sλκ≠∴=，因此曲线是直线。10.证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr，则曲线在任意点的密切平面的方程是0))('')('())((=×⋅−trtrtrρ，由条件0))('')('()(=×⋅−trtrtr，即（r'r''r）=0，所以r平行于一固定平面，即r＝)(tr是平面曲线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(sr，则曲线在任意点的密切平面方程是0))((=⋅−γρsr，由条件0)(=⋅γsr，两边微分并用伏雷内公式得τ−0)(=⋅βsr。若0)(=⋅βsr,又由0)(=⋅γsr可知)(sr∥)(sr•=α,所以r＝)(sr平行于固定方向，这时r＝)(sr表示直线,结论成立。否则0=τ，从而知曲线是平面曲线。方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr，则曲线在任意点的密切平面方程是0))('')('())((=×⋅−trtrtrρ，由条件0))('')('()(=×⋅−trtrtr，即（r'r''r）=0，所以r，'r，''r共面，若r∥'r，则r微分几何主要习题解答32＝)(tr是直线，否则可设''',''''''rrrrrrλµλµ=+∴=+，所以','','''rrr共面，所以0=τ，从而知曲线是平面曲线。11.证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。证方法一：根据已知0=⋅eα，若α是常向量，则k=||•α=0，这时曲线是直线。否则在0=⋅eα