04章-组合优化模型

第四章组合优化模型投资组合期望回报和风险可以通过调整组合中各资产的比例来优化。组合优化理论由马科维茨（1952）创立，因此这一理论又被称为马科维茨组合模型。本章探讨如何在Excel中的构建这一模型的问题。在本章中，我们首先从数学上对该模型做了一个简单解释，然后又分别用解析法和数值法构建了四个生成有效前沿的Excel模型。4.1有效前沿及其数学解释相同的一组资产，通过改变资产权重，可以组成许多有不同的期望回报和风险的投资组合。这些组合和资产在回报-风险平面上形成一个可行域或机会集。该可行域的边界是一个向右开口的双曲线。只有组合的期望回报才能达到这一边界，而单个资产的期望回报都在边界之内。边界上的组合被称为前沿组合。如果设双曲线的顶点为E，则在E点上的组合为最小风险组合。E点以上线段被称为有效前沿，在该线段上的组合为有效组合，其他的则是无效组合。所谓有效组合，就是在给定的期望回报下有最小风险的组合，或在给定的风险下有最大期望回报的组合。换句话说，有效组合就是在给定的约束下具有最优资产配置比例的组合。求有效组合的过程实际上就是计算组合的最优资产比例的过程。有效组合可以用数学中求条件极值的方法得出。在数学中，求极值有两种方法。一是把约束条件代入目标函数，将条件极值直接化为无条件极值；另一种是用拉格朗日乘数法将条件极值化为无条件极值。有效组合可以用这两种方法求解。在第一种方法中，流行的是埃尔顿等人在“现代组合投资理论与投资分析”中介绍的解法。1在第二种方法中，应用较多的是HuangChi-Fu建立的一种解法。24.1.1将约束代入目标函数求解有效组合按照这种解法，有效组合是下面目标函数的最大值：𝜃=𝑅̅𝑃−𝑅𝑓𝜎𝑃=∑𝑤𝑖𝑅̅𝑖−𝑅𝑓ni=1𝜎𝑃(4−1)约束于：∑𝑤𝑖ni=1=1(4−2)其中，𝑅̅𝑃是组合期望回报，𝑅𝑓是无风险利率，𝜎𝑃是组合标准差，𝑤𝑖是资产i在组合中的权重。为了得到目标函数的最大值，我们首先将约束代入目标函数。令𝑅𝑓=∑𝑤𝑖ni=1𝑅𝑓则目标函数（4-1）可以改写为：1埃尔顿等“现代投资组合理论与投资分析”，机械工业出版社，2008年。2Huang,Chi-Fu.FoundationsforFinancialEconomics,ElsevierSciencePublishingCo.,1988.2𝜃=∑𝑤𝑖ni=1𝑅̅𝑖−∑𝑤𝑖ni=1𝑅𝑓𝜎𝑃=∑𝑤𝑖(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)ni=1𝜎𝑃求最大值的第二步是求目标函数对所有变量的偏导数，并令导数的值为零。设𝑢=∑𝑤𝑖(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)ni=1𝑣=𝜎𝑃=(𝜎𝑃2)12⁄其中函数u对w的一阶偏导数为𝜕𝑢𝜕𝑤1=(𝑅̅1−𝑅𝑓)𝜕𝑢𝜕𝑤2=(𝑅̅2−𝑅𝑓)⋮𝜕𝑢𝜕𝑤𝑛=(𝑅̅𝑛−𝑅𝑓)或𝜕𝑢𝜕𝑤𝑘=(𝑅̅𝑘−𝑅𝑓)(4−3)函数v为复合幂函数，其求导法则为：(𝑛𝑣𝑛−1)𝑑𝑣𝑑𝑥⁄，故v对w的一阶偏导数为：𝜕𝑣𝜕𝑤𝑘=(𝜎P2)−12⁄22∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖=∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖/𝜎𝑃(4−4)其中，2∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖为组合方差𝜎𝑃2的导数，其推导见附录A.将u和v的导数（4-3）式及（4-4）式代入下式(𝑢𝑣)′=𝑣𝑢′−𝑢𝑣′𝑣2并令目标函数关于所有资产权重的偏导数为零，得𝜕𝜃𝜕𝑤𝑘=𝜎𝑃(𝑅̅𝑘−𝑅𝑓)−∑𝑤𝑖(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)ni=1(∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖)𝜎𝑃⁄𝜎𝑃2=(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)𝜎𝑃−∑𝑤𝑖(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)(∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖)𝜎𝑃⁄ni=1𝜎𝑃2(4−5)=0定义α=∑𝑤𝑖(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)ni=1𝜎𝑃2则（4-5）式变为3𝜕𝜃𝜕𝑤𝑘=(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)𝜎𝑃−𝛼∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖𝜎𝑃=0等价于𝜕𝜃𝜕𝑤𝑘=(𝑅̅𝑖−𝑅𝑓)−𝛼∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1𝜎𝑘𝑖=0(4−6)对每一个i值，有𝑅̅1−𝑅𝑓=𝛼𝑤1𝜎11+𝛼𝑤2𝜎12+⋯+𝛼𝑤𝑛𝜎1𝑛𝑅̅2−𝑅𝑓=𝛼𝑤1𝜎11+𝛼𝑤2𝜎12+⋯+𝛼𝑤𝑛𝜎1𝑛⋮𝑅̅𝑛−𝑅𝑓=𝛼𝑤1𝜎11+𝛼𝑤2𝜎12+⋯+𝛼𝑤𝑛𝜎1𝑛令𝑧𝑘=𝛼𝑤𝑘，则𝑅̅1−𝑅𝑓=𝑧1𝜎11+𝑧2𝜎12+⋯+𝑧𝑛𝜎1𝑛𝑅̅2−𝑅𝑓=𝑧1𝜎11+𝑧2𝜎12+⋯+𝑧𝑛𝜎1𝑛⋮𝑅̅𝑛−𝑅𝑓=𝑧1𝜎11+𝑧2𝜎12+⋯+𝑧𝑛𝜎1𝑛用矩阵表示，则为(𝑅̅1−𝑅𝑓𝑅̅2−𝑅𝑓⋮𝑅̅𝑛−𝑅𝑓)=(𝜎11𝜎12𝜎21𝜎22⋯𝜎1𝑛⋯𝜎2𝑛⋮⋮𝜎𝑛1𝜎𝑛2⋱⋮⋯𝜎𝑛𝑛)(𝑧1𝑧2⋮𝑧𝑛)(4−7)假定组合的协方差矩阵为可逆矩阵，则（4-7）式的解为(𝑧1𝑧2⋮𝑧𝑛)=(𝜎11𝜎12𝜎21𝜎22⋯𝜎1𝑛⋯𝜎2𝑛⋮⋮𝜎𝑛1𝜎𝑛2⋱⋮⋯𝜎𝑛𝑛)−𝟏(𝑅̅1−𝑅𝑓𝑅̅2−𝑅𝑓⋮𝑅̅𝑛−𝑅𝑓)因为wi与zi成比例，所以𝑤𝑘=𝑧𝑘∑𝑧𝑖𝑛𝑖=1(4−8)就是资产k在一个有效组合中的权重。改变Rf的值，我们即可用上述方法得到另一个有效组合。有效组合都是前沿组合。两个前沿组合的组合仍然是前沿组合，因此，我们可以用两个原始有效组合求出一系列的前沿组合。这些前沿组合在风险-回报平面上形成一条向回报轴凸出的曲线。44.1.2使用HuangChi-Fu模型求解有效组合现在介绍HuangChi-Fu的方法。这一方法使用拉格朗日函数，在给定期望回报条件下，寻找具有最小方差的组合，即最小化：𝟏𝟐𝛔𝐏𝟐=12𝐰𝐓𝛀𝐰(4−9)约束于：𝐰𝐓𝐞=𝑅̅𝑃(4−10)𝐰𝐓𝐈=1(4−11)其中：w=[w1,w2,…,wn]T,组合中各资产权重的列向量e=[e1,e2,…,en]T,组合中各资产期望回报的列向量Ω=组合中各资产回报的协方差矩阵I=[1,1,…,1]T,单位列向量𝑅̅𝑃=组合期望回报目标函数（4-9）前加了一个1/2的系数，以简化后面的计算，因为𝐰𝐓𝛀𝐰的1阶导数为𝟐𝛀𝐰（见附录A）。另外，这里假定Ω可逆且各资产的期望回报互不相等(𝑒𝑖≠𝑒𝑗,∀𝑖,𝑗).现在，我们用上述目标函数和约束条件构造如下的拉格朗日函数：L=12𝐰𝐓𝛀𝐰+𝜆1(𝑅̅𝑃−𝐰𝐓𝐞)+𝜆2(1−𝐰𝐓𝐈)(4−12)令该函数对所有变量的偏导数为零：Lw=𝛀𝐰−𝜆1𝐞−𝜆2𝐈=𝟎(4−13)Lλ1=𝑅̅𝑃−𝐰𝐓𝐞=𝟎(4−14)Lλ2=1−𝐰𝐈=𝟎(4−15)由（4-13）式得w=λ1Ω−1e+λ2Ω−1I（4−16）代入（4-14）和（4-15）式，得：𝑅̅𝑃=𝜆1𝐞𝐓𝛀−𝟏𝐞+𝜆2𝐞𝐓𝛀−𝟏𝐈1=𝜆1𝐈𝐓𝛀−𝟏𝐞+𝜆2𝐈𝐓𝛀−𝟏𝐈令𝐴=𝐈𝐓𝛀−𝟏𝐞𝐵=𝐞𝐓𝛀−𝟏𝐞𝐶=𝐈𝐓𝛀−𝟏𝐈𝐷=𝐵𝐶−𝐴2得𝜆1=𝐶𝑅̅𝑃−𝐴𝐷（4−17）𝜆2=𝐵−𝐴𝑅̅𝑃𝐷（4−18）5将以上两式代入w的表达式（4-16）：𝐰=(𝐶𝑅̅𝑃−𝐴)𝛀−𝟏𝐞𝐷+(𝐵−𝐴𝑅̅𝑃)𝛀−𝟏𝐈𝐷=𝐵(𝛀−𝟏𝐈)−𝐴(𝛀−𝟏𝐞)𝐷+𝐶(𝛀−𝟏𝐞)−𝐴(𝛀−𝟏𝐈)𝐷𝑅̅𝑃（4−19）=𝐠+𝐡𝑅̅𝑃其中g是一个向量，其分量为组合期望收益等于0时的前沿组合的资产权重，因为：w=g+h×0=g而向量g+h的分量则等于组合期望收益为100%时的前沿组合资产权重，因为：w=g+h×100%=g+h一旦计算出g和g+h，我们就可以通过变动𝑟̅𝑃来求解其他前沿组合，从而在风险-回报平面上得到一个向右开口的双曲线。该双曲线的顶点为：√1𝐶⁄,𝐴𝐶这也是全局最小风险组合。4.1.3包含无风险资产的组合和资本市场线CML无风险资产是有固定收益的资产，如政府债券。因为回报是固定的，所以其波动性或者说标准差为0.由无风险资产和风险资产组合M构成的组合，其期望回报和风险为：𝑅̅𝑃=(1−𝑤)𝑅𝑓+𝑤𝑅̅𝑀(4−20)𝜎𝑃=√(1−𝑤)20+2𝑤(1+𝑤)𝜎𝑀0𝜌𝑓𝑀+𝑤2𝜎𝑀2=𝑤𝜎𝑀(4−21)其中𝑅𝑓是无风险利率，𝑅̅𝑀和σM是组合M的期望回报和风险。当w=0时，组合中只有无风险资产，这时有𝑅̅𝑃=𝑅𝑓𝜎𝑃=0而当w=1时，组合中只有风险资产，这时有𝑅̅𝑃=𝑅̅𝑀𝜎𝑃=𝜎𝑀由（4-21）式可得𝑤=𝜎𝑃𝜎𝑀⁄.代入（4-20）式，得：𝑅̅𝑃=(1−𝜎𝑃𝜎𝑀*𝑅𝑓+𝜎𝑃𝜎𝑀𝑅̅𝑀=𝑅𝑓+𝑅̅𝑀−𝑅𝑓𝜎𝑀𝜎𝑃(4−22)方程（4-22）的解是风险-回报平面上的一个直线。该直线的截距为无风险利率𝑅𝑓，斜率为(𝑅̅𝑀−𝑅𝑓)/𝜎𝑀。这条直线在点A(𝑅̅𝑀,𝜎𝑀)处与组合有效边界相切。这时组合中仅有组6合M，没有无风险资产。过点A(𝑅̅𝑀,𝜎𝑀)以后的线段，是用无风险利率借款进行风险投资的各个组合。这时投入组合的资金大于投资者的自有资金。这一直线被称为资本市场线CML。在CML与有效前沿切点上的组合，被称为最优组合或市场组合。该组合之所以被称为最优组合，是因为该组合的单位风险有最大期望回报。单位风险回报率又称为夏普比率：𝑅̅𝑖−𝑅𝑓𝜎𝑖(4−23)其中（𝑅̅𝑖−𝑅𝑓）是组合期望回报高于无风险利率的超额回报，σi是资产i的风险数量。该组合之所以又被称为市场组合，是因为这里假定市场投资者具有同质性，他们有相同的风险偏好和相同的投资决策，因而市场上的所有投资者都会选择单位风险回报率最高的组合，这就是位于资本市场线与组合有效前沿切点上的组合。市场组合的单位风险回报率被称为“风险的市场价格”，它就是资本市场线的斜率：𝑅̅𝑀−𝑅𝑓𝜎𝑀(4−24)在上面介绍的两种方法中，就第一种方法而言，当组合超额回报用无风险利率来计算时，所得的有效组合就是位于CML与有效前沿的切点的组合。而在第二种方法中，正切组合资产权重的数学表达式为：𝑤𝑃=Ω−1(𝐞−𝑅𝑓𝐈)𝐴−𝐶𝑅𝑓(4−25)CML与有效前沿的切点从而最优组合跟随无风险利率变化。因为无风险利率是随时变化的，所以，所谓的“最优组合”事实上只是一个“瞬时”上的存在。4.1.4凹规划中的有效组合求解法如果将有效组合的求解设计为𝐰𝐓𝛀𝐰=𝜎𝑃2(4−26){𝐰𝐓𝐞=𝑅̅𝑃𝐰𝐓𝐈=1𝑤𝑖0∀𝑖即给求解加一个不等式约束，要求组合中各资产的权重不能为负数，则意味着在投资中有卖空限制，即投资者不能借入资产，出售后用所得资金购买其他资产。这时数学分析中的求条件极值问题变为数学规划中的凹规划问题。这类规划之所以被称为凹规划，是因为在这类规划中，目标函数是二次函数且包含不等式约束。这时目标函数和约束函数都是凹函数。对凹规划求解需要建立库恩-塔克条件，许多书都对此有介绍。3但是，对Excel的使用者来说，一个好的选择是使用Excel的“规划求解”工具解二次规划问题。在本章的后面部分，我们将说明如何用Excel的“规划求解”来计算各种条件下的有效前沿。3如埃尔顿人的“现代组合投资理论与投资分析”；沃特沙姆等人的“金融数量方法”，上海人民出版社，2004年；