指数与指数函数题型归纳(非常全)

第1页，共23页指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化：题组一：根式化为分数指数幂（1）化简√𝑎12√𝑎12√𝑎=________．(2)计算𝑎2√𝑎⋅√𝑎23=________．(3)若a＜0，则√𝑎𝑥3=________．(4)√𝑎√𝑎√𝑎的值为（）题组二：运用分数指数幂进行化简：（1）下列各式中错误的是（）1.A.225×2 52=2B.(127)−13=3C.√226=√23D.(−18)23=2.化简（𝑎23𝑏12）×（-3𝑎12𝑏13）÷（13𝑎16𝑏56）的结果（）A.6aB.−𝑎C.−9𝑎D.9𝑎23.（1）计算：1612+(181)−0.25−(−12)0（2）化简：(2𝑎14𝑏−13)(−3𝑎−12𝑏23)÷(−14𝑎−14𝑏−23)．(3)（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0．题组三：指数式的条件求值问题：1.已知𝑎12+𝑎−12=3，求下列各式的值(写出过程)：（1）𝑎1+𝑎−1(2)𝑎2+𝑎−2(3)𝑎32+𝑎−32=2.（1）已知𝑥+𝑥−1=3，求𝑥12+𝑥−12𝑥2+𝑥−2+3的值．（2）已知2x+2-x=3，则4x+4-x=______．第2页，共23页题组四：利用指数函数比较大小;1.下列各式比较大小正确的是：1.72.31.74；0.6−10.62；1.70.30.92.30.8−0.11.250.22.已知𝑎=(13)−1.1,𝑏=𝜋0,𝑐=30.9，则a，b，c三者的大小关系是()A.𝑐𝑏𝑎B.𝑐𝑎𝑏C.𝑏𝑎𝑐D.𝑏𝑐𝑎3.已知𝑎=(35)25，b=(25)35，c=(25)25，则（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑐𝑏𝑎C.𝑐𝑎𝑏D.𝑏𝑐𝑎题组五：指数函数过定点问题;1．函数f（x）=2-ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（）A.(0,2)B.(1,2)C.(−1,1)D.(−1,2)2.函数y=ax-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______．3.函数y=𝑎−𝑥2+2𝑥+3(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______4.题组六：指数函数解方程（或不等式）;1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|18＜（12）x＜1}，则A∩B=（）A.(0,3)B.(1,3)C.(0,2)D.(1,+∞)2.（1）不等式3−𝑥2+2𝑥13𝑥+4的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______(3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围3.方程4x-6×2x+8=0的解是______．题组七：指数函数有关图像问题;1.函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏−1(其中0𝑎1且0𝑏1)的图象一定不经过(）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若函数y=ax+b的部分图象如图所示，则（）A.0𝑎1,−1𝑏0B.0𝑎1,0𝑏1C.𝑎1,−1𝑏0D.𝑎1,0𝑏1第3页，共23页3.函数f（x）=-3|x|+1的图象大致是（）A.B.C.D.4．函数𝑦=𝑥𝑎𝑥|𝑥|(𝑎1)的图象的大致形状是（）A.B.C.D.5.如图①𝑦=𝑎𝑥,②𝑦=𝑏𝑥,③𝑦=𝑐𝑥,④𝑦=𝑑𝑥,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为()A.B.C.D.题组八：指数函数有关复合函数问题：1.（1）函数𝑦=(13)𝑥2−6𝑥的单调递增区间为______(2)函数𝑦=2−𝑥2−4𝑥的单调递减区间为_____2.（1）函数y=(12)−𝑥2+2𝑥的值域是（）A.RB.[12,+∞)C.(2,+∞)D.(0,+∞)（2）函数𝑓(𝑥)=(13)𝑥2−6𝑥+5的值域为_____（3）函数𝑦=2𝑥2−1的值域是______3.求函数y=3−𝑥2+2𝑥+3的定义域、值域和单调区间．第4页，共23页题组九：指数函数与其它函数交汇问题：1.已知𝑓(𝑥)=𝑎𝑥1+𝑎𝑥(𝑎≠0)，则𝑓(−2018)+𝑓(−2017)+⋯+𝑓(2017)+𝑓(2018)=（）A.2018B.40372C.2019D.403922.已知函数𝑓(𝑥)={3𝑥−1,𝑥0−2𝑥2−4𝑥,𝑥⩽0，若方程𝑓(𝑥)=𝑚有3个不等的实根，则实数𝑚的取值范围是________.3．若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是______．4.已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b=______．5.函数𝑓(𝑥)=4𝑥−2𝑥+1+3的定义域为𝑥∈[−12,12]．(Ⅰ)设𝑡=2𝑥,求t的取值范围；(Ⅱ)求函数𝑓(𝑥)的值域．6.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎−2𝑥1+2𝑥(𝑎∈𝑅),且𝑥∈𝑅时,总有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)成立．(1)求a的值；(2)判断并证明函数𝑓(𝑥)的单调性；(3)求𝑓(𝑥)在[0,2]上的值域．6.已知定义域为R的函数，𝑓(𝑥)=−2𝑥+𝑏2𝑥+1+𝑎是奇函数．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．第5页，共23页答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数幂的计算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，属基础题.根据分数指数幂的运算法则进行求解即可.【解答】解：由条件知a≥0，则√𝑎12√𝑎12√𝑎=√𝑎12√𝑎12+12=√𝑎12⋅√𝑎=√𝑎12⋅𝑎12=𝑎12.故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.利用已知条件，通过开方运算，求解即可，利用𝑎12+𝑎−12=√(𝑎12+𝑎−12)2，即可得.【解答】解：由𝑎+1𝑎=7，可得a＞0，𝑎12+𝑎−120，∴𝑎12+𝑎−12=√(𝑎12+𝑎−12)2=√7+2=3，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数运算及倒序相加法进行求和，属于中档题.由已知𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=𝑎𝑥1＋𝑎𝑥+𝑎−𝑥1+𝑎−𝑥=1+𝑎𝑥1+𝑎𝑥=1，再利用倒序相加进行求和即可求解.【解答】解:由已知有𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=𝑎𝑥1＋𝑎𝑥+𝑎−𝑥1+𝑎−𝑥=1+𝑎𝑥1+𝑎𝑥=1，设𝑇=𝑓(−2018)＋𝑓(−2017)＋⋯＋𝑓(2017)＋𝑓(2018)，则𝑇=𝑓(2018)＋𝑓(2017)＋⋯＋𝑓(−2017)＋𝑓(−2018)，两式相加得2T=4037×1，所以𝑇=40372.第6页，共23页故选B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【解答】解：𝑎2√𝑎⋅√𝑎23=𝑎2⋅𝑎−12⋅𝑎−23=𝑎2−12−23=𝑎56．故选C．5.【答案】A【解析】解：原式=𝑎32−12𝑏14−14=a，故选：A根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数解析式,由已知解析式得到5a+b=3，所求为5a•5b，利用同底数幂的乘法运算转化即可，属于中档题.【解答】解：因为f（x）=5x，因为f（a+b）=3，所以5a+b=3，则f（a）•f（b）=5a•5b=5a+b=3.故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础．根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=3x+3-x，∴f（a）=3a+3-a=4，平方得32a+2+3-2a=16，即32a+3-2a=14．即f（2a）=32a+3-2a=14．故选B．8.【答案】D【解析】解：∵a＜0，ax3≥0，∴x≤0，∴√𝑎𝑥3=|x|√𝑎𝑥=-x√𝑎𝑥，故选：D由题意可得x≤0，即可求出答案．第7页，共23页本题考查了根式的化简，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题.求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M，N，然后直接利用补集和交集的运算求解.【解答】解：由题意，集合M={x|x2+x-6＜0}={x|-3＜x＜2}，N={x|(12)𝑥≥4}={x|x≤-2}，全集为R，所以∁𝑅𝑁={x|x＞-2}，所以M∩（∁𝑅𝑁）={x|-2＜x＜2}，所以M∩（∁𝑅𝑁）=（-2，2）．故选B．10.【答案】A【解析】解：A、原式=225+52=22910；B、原式=(3−3)−13=3；C、原式=√226=(22)16=√23；D、原式=(−2−3)23=(−2)−2=14．故选：A根式与分数指数幂的互化公式是√𝑥𝑚𝑛=𝑥𝑚𝑛，分数指数幂公式是x-n=1𝑥𝑛（x≠0），按公式运算即可．本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了分数指数幂和根式的互化，以及指数幂的运算性质，属于基础题．【解答】解：√𝑎√𝑎√𝑎=(𝑎·(𝑎·𝑎12)12)12=𝑎78，故选C.12.【答案】C【解析】解：(𝑎23𝑏12)(−3𝑎12𝑏13)÷(13𝑎16𝑏56)=(−3)÷13×𝑎23+12−16𝑏12+13−56=-9a故选：C．由指数幂的运算法则直接化简即可．本题考查指数式的化简、指数幂的运算法则，考查运算能力．第8页，共23页13.【答案】D【解析】解：𝑎=(13)−1.1=31.1,𝑏=𝜋0=1,𝑐=30.9，∵指数函数𝑦=3𝑥在R上单调递增，∴31.130.930=1,即有a＞c＞b，即b＜c＜a．故选：D．运用指数函数的单调性，可得31.130.91，即可得到a，b，c的大小关系．本题考查指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.先求出函数的定义域，再分别讨论x＞0，x＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=𝑒𝑥𝑥的定义域为：(−∞,0)∪(0,+∞)，排除选项A．当x＞0时，函数f（x）=𝑒𝑥𝑥＞0，选项C不满足题意．当x＜0时，函数f（x）=𝑒𝑥𝑥＜0，选项D不正确，故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）={𝑎𝑥(𝑥0)−𝑎𝑥(𝑥0)，∴x＞0时，图象与y=ax（a1）在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=ax（a1）的图象关于x轴对称，故选C．16.【答案】B【解析】解：函数y=（2a-1）x在R上为单调减函数，∴0＜2a-1＜1解得12＜a＜1故选：B．指数函数y=ax，当0＜a＜1时为定义域上的减函数，故依题意只需0＜2a-1＜1，即可解得a的范围第9页，共23页本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题17.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，即a0=1的应用，属于基