选修2-1-2.1曲线与方程(三课时)

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程第一课时复习回顾:我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.复习回顾:x-y=0我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.ykxb222()()xaybr点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线l含有关系：lx-y=0xy0（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l曲线条件方程坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考?0,0lxyxyl说直线的方程是又说方程的直线是圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:222()()xaybr思考?xy.C（1）圆C上的点的坐标都是方程的解;222()()xaybr（2）方程的解为坐标的点都在圆C上。222()()xaybr(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.定义:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:说明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.例1:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确，应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.00000000(1)(,),,,(,)MxyMxyyxxykxyxyk证明：如图，设是轨迹上的任意一点，因为点与轴的距离为与轴的距离为所以即是方程的解。1111111(2)(,),Mxyxykxykxyk设点的坐标是方程的解，即即11111,,xyMMkM而正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到两条直线的距离的积是常数点是曲线上的点。(1),(2)(0)xykkk由可知，是与两条坐标轴的距离。的积为常数的点的轨迹方程。第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.2.1.2求曲线的方程（1）第二课时2.1曲线与方程练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221y⑴⑵⑶1||x1||x练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221y⑴⑵⑶1||x1||x不是不是是练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0xy|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0xy|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD①表示B②表示C③表示D练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是CB.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线CD.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是CB.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线CD.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部D练习4:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()2)2()3(22yxA.点P在直线上，但不在圆上B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上D.点P既不在圆上，也不在直线上练习5:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.0422nymx)1,2(),2,1(BAC练习4:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()2)2()3(22yxA.点P在直线上，但不在圆上B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上D.点P既不在圆上，也不在直线上练习5:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.0422nymx)1,2(),2,1(BA45451.“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“方程f（x，y）=0是曲线C的方程”的（）条件A，充分非必要B，必要非充分C，充要D，既非充分也非必要2.△ABC的顶点坐标分别是A（-4，-3），B（2，-1），C（5,7），则AB边上的中线的方程为。1.“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“方程f（x，y）=0是曲线C的方程”的（）条件A，充分非必要B，必要非充分C，充要D，既非充分也非必要2.△ABC的顶点坐标分别是A（-4，-3），B（2，-1），C（5,7），则AB边上的中线的方程为。C320(15)xyx练习：(1)设A(2,0)、B(0,2)，能否说线段AB的方程为x+y-2=0?(2)方程x2-y2=0表示的图形是_______上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.M点,)xy坐标(按某中规律运动C曲线,xy的制约条件(,)0fxy方程几何意义代数意义“数形结合”数学思想的基础例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.||||PMMAMB2222(1)(1)(3)(7)xyxy.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：x+2y－7=0解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合：例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，2.1.2求曲线的方程（2）第三课时2.1曲线与方程解:练习1.22yxyx的2.B3.这就是所求的轨迹方程.B3.这就是所求的轨迹方程.4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_________4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_________解:设动点为(x，y)，则由题设得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程.5.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以3yx|AD|22化简得:x2+y2=9(y≠0)这就是所求的轨迹方程.解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.例、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.,(5,0),(5,0),,(0),ABCABACBCmmC练习1、已知的两个顶点的坐标分别是且所在直线的斜率之积等于试探求顶点的轨迹方程。解：设C（x，y）．由已知，得直线AC的斜率kAC＝5yx（x≠－5）；直线BC的斜率kBC＝5yx（x≠5）；由题意，得kACkBC＝m，所以，5yx×5yx＝m（x≠±5）．写成225x－225ym＝1（x≠±5）．2225xy22(3)48xy