变分与习题

目录第一章变分法与最优控制..............................................................11.1源头问题与当今应用......................................................11.2变分法与最优控制方法....................................................51.2.1变分法..............................................................51.2.2最优控制方法........................................................211.3案例分析................................................................23习题7...................................................................28.II.目录第一章变分法与最优控制学习目标与要求1.掌握产生变分模型的基本思想和基本内容．2.掌握最优控制的基本思想．3.掌握变分法和最优控制的建模方法．过去我们已经遇到了需要求函数的极值问题，有时在现象或事件中需要寻求某个特殊函数的极值问题，这种特殊函数的自变量也是一个函数，也就是说这种特殊的函数是“函数的函数”，称为泛函，求泛函的极值问题称为变分问题.求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制法.1.1源头问题与当今应用确定某一函数z=f(x)的极值问题是催生微积分理论产生和发展的源头问题之一，而确定一个泛函的极值问题，则是催生变分学理论诞生和发展的源头问题。历史上曾经出现了许多有名的变分问题。1、最速降线问题（brachistochrone）约翰•伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年提出了一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”以此挑战全欧洲的数学家。这就是著名的“最速降线”问题（TheBrachistochroneProblem）。它比普通的求函数的极大极小值不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了广泛注意，罗比塔（GuillaumeFrancoisAntoniedel’Hospital1661-1704）、雅可比•伯努利（JacobBernoulli1654-1705）、莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）和牛顿（IsaacNewton1642—1727）都得到了解答。后来欧拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明.2.第一章变分法与最优控制了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支–变分学。设有两点A和B，不在同一铅垂线上，设在A和B两点上连结者某一曲线，有一重物沿曲线从A到B受重力作用自由下滑。如果略去重物和线之间的摩擦阻力，从A到B自由下滑所需时间随这一曲线的形状不同而各不相同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？这就是最速降线.显而易见，最快的路线决不是连结A，B两点的直线段。当然，这条直线段在A，B两点间的路程最短，但沿这条直线自由下落时，运动速率的增长是比较慢的。如果我们取一条较陡的路程，则虽然路程是加长了，但在路程相当大的一部分中，物体的运动速率较大，所需时间反而较少。2、测地线（Geodesicline）问题设φ(x;y;z)=0是一已知曲面，求曲面φ(x;y;z)=0上所给两点(A;B)间长度最短的曲线。这个最短曲线叫测地线。球面（如地球表面）上两点的测地线即为通过两点的大圆。这是一个典型的变分问题。按曲面φ(x;y;z)=0上A(x1;y1;z1)和B(x2;y2;z2)两点间的曲线长度为L=∫x2x1√1+(dydx)2+(dzdx)2dx(1:5)其中y=y(x);z=z(x)满足φ(x;y;z)=0的条件。于是，我们的变分命题可以写成：在y=y(x);z=z(x)满足φ(x;y;z)=0的条件下，从一切y=y(x);z=z(x)的函数中，选取一对y(x);z(x),使（1.5）式中的泛函L为最小。这个变分命题和最速降线问题有下列相同和不同之点：（1）它也是一个泛函求极值的问题，但这个泛函有两个可以选取的函数,即y(x);z(x):（2）边界也已固定不变的，也有端点定值，即y(x1)=y1;z(x1)=z1;y(x2)=y2;z(x2)=z2:（3）y=y(x);z=z(x)之间必需满足：φ[x;y(x);z(x)]=0(1:6)它是一个在（1.6）式条件下的变分求值问题，不是像最速降线问题那样是无条件的。我们称这种命题为条件变分命题。这个问题已经在1697年约翰
伯努利所解决。但是这一类问题的普遍理论直到1744年通过欧拉(L.Euler)以及1762年拉格朗日(L.Lagrange)的努力才解决的。3、等周问题（isoperimetricproblem）在长度一定的封闭曲线中，什么曲线所围成面积最大。这个问题在古希腊时已经知道答案是一个圆，但它的变分特性一直到1744年才被欧拉察觉出来。将所给曲线用参数形式表达为x=x(s);y=y(s)，因为这条曲线是封闭的，所以x(s0)=x(s1)，y(s0)=y(s1)，这条曲线的周长为：L=∫s1s0√(dxds)2+(dyds)2ds(1:7)1.1源头问题与当今应用.3.根据格林公式，其所围成面积R为：R=∫∫Rdxdy=12∮c(xdyydx)=12∫s1s0(xdydsydxds)(1:8)等周问题于是可以写成：在满足x(s0)=x(s1)，y(s0)=y(s1)和（1.7）式条件下，从一切x=x(s)，y=y(s)的函数中选取一对x=x(s)，y=y(s)函数，使（1.8）式中的泛函R为最大。这也是一个条件变分命题，但其条件本身也是一个泛函，即（1.7）式；同时，其边界（这里是端点）也已固定不变；而且它是两个函数x=x(s);y=y(s)所确定的泛函。这三个历史上有名的变分命题，都是17世纪末期提出的，又都是18世纪上半叶解决的。解决过程中，欧拉和拉格朗日创立了现在大家都熟知的变分法。这个变分法后来广泛地用在力学的各个方面，对力学的发展起了很重要的作用。上述三个历史上有名的变分问题，都有从泛函求极值的共同性，端点或边界都是已定不变的，但有的有条件（第二、第三问题），有的没有条件（第一问题）。在有条件的变分问题中，有的条件是通常的函数条件（第二问题），有的条件则本身也是一种泛函（第三问题）。当然，边界固定不变的、没有条件的变分（第一问题）是最简单的，而且也是很有用。这种边界固定不变的无条件变分还有许多例子。现在再举三个例子如下：4、最小旋转面问题设有一正值函数y=y(x)0;它所代表的曲线通过(x1;y1);(x2;y2)两点，当这条曲线绕x轴旋转的时候，得一旋转面，求旋转面的面积最小的那个函数y=y(x).即在y(x1)=y1;y(x2)=y2的端点条件下求使泛函S=∫x2x12y√1+(dydx)2dx(1:9)最小的函数y(x).5、费马(Fermat)原理费马原理说：通过介质的光路，使光线通过这一段光路所需时间为最小值。以二维空间为例。设介质的折光率为u(x;y)，而光线通过介质的速度v(x;y)=cu(x;y)，其中c为真空中的光速，是一个常数，从原点（0,0）到（x,y）点的光行时间为T=∫t0dsv=1c∫x10u(x;y)√1+(dydx)2dx(1:10)其中y=y(x)为待定的光线通过的路线。费马定理成为：“求y(x),使(1.10）式中的泛函T成为最小值”。.4.第一章变分法与最优控制下面再增加一个条件变分问题的例子。6、悬索形状问题求长度已知的均匀悬索的悬线形状。悬线形状是由悬线达到最低位能的要求来决定的，而悬线的位能则由悬线的重心决定。设悬线各点的铅垂线坐标为y(x)，并通过A(0;y0);B(x1;y1)两点，悬线长度为L=∫x10√1+(dydx)2dx(1:11)悬索重心高度为yc=1L∫L0yds=1L∫x10y√1+(dydx)2dx(1:12)问题变为：在通过y(0)=y0;y(x1)=y1两点，并满足（1.11）式的条件的一切曲线y=y(x)中，求使（1.12）式中的yc为极小的函数y=y(x),这是一个端点已定不变的条件变分命题。图1.1悬索的形状和坐标7、极小曲面问题考虑平面上有界区域Ω，在边界@Ω上给定空间闭曲线l:8:x=x(s)y=y(s)u=φ(s)(0ss0)这里x=x(s);y=y(s)为平面曲线@Ω的方程.求一张定义在Ω上的曲面S，使得（1）S以l为界（2）S的表面积最小.1.2变分法与最优控制方法.5.换言之，在所有定义在Ω上并以l为周界的曲面中，要寻求一张曲面，使它的表面积最小.即给定函数集合Mφ=fvjv2C1(Ω);vj@Ω=φg求u2Mφ,使得J(u)=MinJ(v)(1:13)其中J(v)=xΩ√1+vx2+vy2dxdy这是一种特殊的函数,它的自变量也是函数，J是一个从Mφ到实数轴的映射J:Mφ!R这里J(v)称为定义在函数集合Mφ上的泛函.u是泛函J(v)在集合Mφ上达到极小值的“点”，这样一个泛函的极值问题称为变分问题.函数集合Mφ称为变分问题(1.13)的容许函数集，或称为泛函J(v)的定义域.u称为变分问题的解.1.2变分法与最优控制方法1.2.1变分法一、基本概念我们已经知道函数的极大及极小问题，泛函的极大极小问题有类似的特性。下面我们将函数的定义和泛函的定义，函数的连续和泛函的连续，函数的宗量的增量（或微分）和泛函的宗量增量（或变分）互相类比地进行研究。1、函数的定义和泛函的定义如果对于变量x的某一区域中的每一x值，y有一值与之对应，或者数y对应于x的关系成立，则称变量y是变量x的函数，即y=y(x).如果对于某一类函数fy(x)g中每一函数y(x),∏有一值与之对应，或者数∏对应于函数y(x)的关系成立，则我们称变量∏是函数y(x)的泛函，即∏=∏[y(x)].另一种叙述为：设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)2S，有一个实数J与之对应，则称J是对应在S上的泛函，记作J(x(t)).S称为J的容许函数集.通俗的说，泛函就是“函数的函数”.所以，函数是变量和变量的关系，泛函是变量与函数的关系，泛函是一种广义的函数。.6.第一章变分法与最优控制例1.1对于XY平面上过定点A(x1;y1)和B(x2;y2)的每一条光滑曲线y(x),绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x)).由微积分知识不难写出J(y(x))=∫x2x12y(x)√1+y′2(x)dx容许函数集可表示为S=fy(x)jy(x)2C1[x1;x2];y(x1)=y1;y(x2)=y2g归纳起来，我们可以把最简单的边界已定不变的变分命题写为：在通过y(x1)=y1;y(x2)=y2两点的条件下，选取y(x),使泛函J=∫x2x1F[x;y(x);y′(x)]dx为极值。其中y′(x)=dydx;F(x;y;y′)为一已知的x;y;y′的函数，F(x;y;y′)当然还有一些可微的条件。y(x)也视所处理的问题不同而有一些可微的条件，它是在变分法的发展过程中，欧拉和拉格朗日所最先处理的变分命题。这样的泛函还可以推广，使它包括y(x)的高阶导数y′′(x);y′′′(x);y(n)(x)等。例如对泛函J=∫x2x1F[x;y(x);y′(x);y′′(x);:::;y(n)(x)]dx的变分问题，在这样的变分问题中，边界条件有时具有下面形式。8:y(x1