第3章随机过程

1第3章随机过程3.0引言3.4平稳随机过程通过线性系统3.6正弦波加窄带高斯噪声3.5窄带随机过程3.3高斯随机过程3.2平稳随机过程3.1随机过程的基本概念3.7高斯白噪声和带限白噪声要求23.0引言1.信号的分类按信号的性质分为确定信号和随机信号两类。确定信号：是指在相同的实验条件下，能够重复实现的信号。又有周期信号和非周期信号之分。确定性信号是时间的确定函数。随机信号：是在相同的实验条件下，不能够重复的信号。信号的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（具有随机性）。32.通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号.随机信号的不可预测性为所携带的信息，它是有用的，而噪声的不可预测性是对信号的干扰，是有害的。两者都不可预测，但均服从一定统计规律，需用概率论方法进行分析。二者统计特性不同，可从噪声中提取信号。3.通信系统中的噪声为随机噪声，简称噪声。43.1随机过程的基本概念随机变量(randomvariable):在数学分析中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是不确定的（以某个概率取某个值），则这种变量称为随机变量。例如在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声，所测得的噪声瞬间值就是一个随机变量。5随机变量的概率分布函数是的取值小于或等于的概率，即XxFXXxxXPxFX在许多问题中，采用概率密度函数比采用概率分布函数更方便。概率密度函数被定义为概率分布函数的导数。xPX分布函数：distributionfunction概率密度函数：probabilitydensityfunction6概率密度函数和概率分布函数之间的关系可表述为：X位于区间内的概率是概率密度函数在该区间上的积分，即:21,xxxPXxxPxXxPxxXd2121xpXx1x2x21xxxP7定义二维随机变量的联合概率密度函数为yxyxFyxPYXYX,,,2,假设联合概率分布函数处处连续，且偏导存在并处处连续。若考虑两个随机变量X、Y，定义二维随机变量(X,Y)的联合概率分布函数为，即X小于或等于x同时Y小于或等于y的联合概率。yxFYX,,yYxXPyxFYX;,,8随机变量的主要数字特征包括数学期望（均值）和方差等。XE)(XDxxpxXEXd)()(xxpaxaXEXDXXXd22反映了随机变量取值的集中位置，有时也用表示；表示的取值相对于均值的“离散程度”，也常常表示为。XEXXaXDX2X9随机过程(randomprocess)确定过程其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。随机过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。10什么是随机过程？随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能用确切的时间函数描述。角度1：随机过程可视为无穷多个样本函数的集合(assemble)。设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t),…,xn(t)…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。11设随机试验E的可能结果为(t)，试验的样本空间S为；{x1(t)，x2(t)，，xi(t)，}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数（又称之为实现(realization)）,每次试验之后，(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此(t)为随机过程无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程。什么是随机过程？12在任一给定时刻t1上，每一个样本函数xi(t)都是一个确定的数值xi(t1)，但是每个xi(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{xi(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记为(t1).什么是随机过程？角度2：随机过程可视为无穷多个随机变量(ti)的集合。13换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。什么是随机过程？14x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk15随机过程基本特征：随机过程兼有随机变量和和时间函数的特点：就某一瞬间来看，它是一个随机变量；就它的一个样本来看，则是一个时间函数。随机过程的样本空间是一个时间函数集，随机变量的样本空间是一个实数集。两层含义：随机过程ξ(t)是大量样本函数的集合。随机过程ξ(t)在任一时刻都是随机变量；163.1.1随机过程的分布函数随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率简记为F1(x1,t1)，即称为随机过程ξ(t)的一维分布函数11111(,){()}FxtPtx11{()}Ptx设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。随机过程的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。171111111(,)(,)Fxtfxtx如果存在称为随机过程的一维概率密度函数)(111txf，)(t同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为：1212(,,;,,)nnnFxxxtttP1122{(),(),()}nntxtxtxn维概率密度函数被定义为:)...,,;...,,(...)...,...;,(2121212,121nnnnnntttxxxfxxxtttxxF183.1.2随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。19设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则ξ(t1)的数学期望为11111),()]([dxtxfxtE注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作，于是dxtxfxtEta),()]([)(1)(t随机过程的数学期望20随机过程的数学期望反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）随时间的变化情况；是随机过程所有样本函数的统计平均函数；它由随机过程的一维概率分布决定；表征了随机信号的直流分量；dxtxfxtEta),()]([)(1tXt021随机过程的方差(variance)：)(2t记为：。2)()()]([tatEtD)()]([)()()(2)]([)()()(2)(222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξE反映随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度；表征了随机信号的交流平均功率。22相关函数(correlationfunction)：描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。23协方差函数(covariancefunction)式中:a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率密度函数。21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2))()(),(),(212121tatattRttB24互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。)]()([),(2121ttEttR251.和的平均等于平均的和E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)2.若X、Y相互统计独立，则积的平均等于平均的积E(XY)＝E(X)E(Y)3.随机变量X的函数g(X)的平均式中是随机变量X的概率密度函数。4.确知函数可视为常数若是确知函数，则dxxfXgXgE)()()]([)(xf)]([)()]()([)()]([XgEtfXgtfEtftfE)(xf补：进行统计平均运算时常用到的一些公式263.2平稳随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程广义平稳（或宽平稳）随机过程平稳随机过程的“各态历经性”平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的功率谱密度27定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数n和任意的实数，平稳随机过程的n维概率密度函数满足：称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）。),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；,,,,21nttt3.2.1平稳随机过程的定义)(t28性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：)(),(),(11111111xftxftxf);,(),;,(),;,(2122121221212xxfttxxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR数字特征：29数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。把同时满足(1)和(2)的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所讨论的均为广义平稳随机过程。adxxfxtE1111)()()(),(21RttR30问题的提出：随机过程的数字特征是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?3.2.2各态历经性31回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，称为“各态历经性”(又称“遍历性”)。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。32设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现(样本)，则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa各态历经性条件33“各态历经”的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一