曲率

题目：曲率主讲人：王维琼副教授单位：长安大学理学院案例工件内孔打磨砂轮的选取砂轮的选取与曲线的弯曲程度有关！砂轮直径过小，功效低砂轮直径过大，过磨削一、问题的引入如何刻画曲线在任一点的弯曲程度?刻画弧段的平均弯曲程度.问题分析--如何刻画曲线的弯曲程度试验结果弧长相同，弧段弯曲程度越大切线转角越大切线转角相同，弧段越短弯曲程度越大结论1结论2sMMy0x----曲线在M处的曲率----弧段的平均曲率MM0limssKK弧长相同，弧段弯曲程度越大切线转角越大切线转角相同，弧段越短弯曲程度越大s二、曲率的概念例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,sRsKs0lim1.R可见:圆上任一点处的曲率都相同；MMsR越小,圆弧弯曲得越厉害;R越大,圆弧弯曲越小.R0limsKs曲线在M处的曲率:tan,y2secdd,=yx由导数的几何意义知2d1d.syx弧微分公式：d:再求d:s先求d2d.1yxy322(1)yKy---曲率的计算公式d.ds0M0xyoMx()yfxx设曲线C的直角坐标方程为y=f(x)，且y=f(x)二阶可导.三、曲率的计算公式22sec1tan例2抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？解:由yax2bxc得y2axby2a代入曲率公式得显然当2axb0时曲率最大因此抛物线在顶点处的曲率最大值为K|2a|232])2(1[|2|baxaK此时，,|2|.2bxKaa322(1)yKyyxoDRMC在点在曲线凹向一侧的法线上取点D,1.DMRK把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆,R叫D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,使做曲率半径,四、曲率圆与曲率半径D例3设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？解:砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径所以抛物线顶点处的曲率半径为因此,选用砂轮的直径不得超过2.50个单位长而抛物线顶点处的曲率为|2|0.8,Ka11.25.RK1、曲率：2、曲率计算公式：3、曲率圆与曲率半径：4、曲率的应用ddKs322(1)yKy1RK小结学以致用请结合曲率及物理学的知识，分讨论：组讨论道路的弯道应如何设计？