高三一轮--直线、平面平行的判定与性质

立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质1高考引航目录2必备知识3关键能力高考引航一、直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言平面外平行,则该直线平行于此平面a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一个平面与此平面的与该直线平行l∥α,l⊂β,α∩β=b⇒l∥b一条直线与此平面内的一条直线答案知识清单必备知识交线二、平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条与另一个平面平行,则这两个平面平行a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α⇒α∥β性质定理两个平面平行,则其中一个平面内的直线于另一个平面α∥β,a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的平行α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b答案平行相交直线交线答案1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是().A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能基础训练解析D【解析】平行、相交、异面都有可能.故选D.答案2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线().A.有无数条B.有2条C.有1条D.不存在解析A【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.故选A.答案3.(2019年全国Ⅱ卷)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是().A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面解析【解析】由面面平行判定定理知,α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件,由面面平行性质定理知,若α∥β,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件.B【解析】A中,由EA=EB,BF=FC,可得EF∥AC,故AC∥平面EFH,选项A正确.B中,因为BD和EG不平行,而且两条直线在同一平面内,所以两直线延长后相交,可得到BD与平面EFG是相交的关系,选项B错误.C中,由A选项,结合平行线的传递性得到GH∥EF,则E,F,G,H四点共面,延长EG和FH相交于点M,则点M在FH的延长线上,故在平面BCD内,同理点M也在平面ABD内,故点M应该在两个平面的交线上,即BD的延长线上,故选项C和选项D正确.答案4.已知E,F,H,G分别是四面体ABCD棱AB,BC,CD,DA上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是().A.AC∥平面EFHB.BD∥平面EFGC.直线EG,FH,BD相交于同一点D.FE∥GH解析𝐁【例1】如图所示,在三棱锥P-ABQ中,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.求证:AB∥GH.题型归纳题型一直线与直线平行的判定与性质解析关键能力【解析】因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又EF∥AB,所以AB∥GH.点拨：证明线线平行,可以运用平行公理、中位线定理,也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形,或者运用线面平行的性质定理来证明.【追踪训练1】如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过点A1,D,E的平面交CD1于点F.证明:EF∥B1C.解析【解析】由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1DE,B1C⊄平面A1DE,所以B1C∥平面A1DE.又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.【例2】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱BC上,AD⊥C1D,点E,F分别是BB1,A1B1的中点.求证:(1)D为BC的中点;(2)EF∥平面ADC1.题型二直线与平面平行的判定与性质解析【解析】(1)∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱BC上,AD⊥C1D,∵CC1⊥平面ABC,∴AD⊥CC1.∵C1D∩CC1=C1,∴AD⊥平面BCC1B1,∴AD⊥BC.∵△ABC为等边三角形,∴D为BC的中点.(2)连接A1C,交C1于点O,连接DO,A1B,∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,ACC1A1是矩形,∴O是A1C的中点,在△A1BC中,∵D为BC的中点,∴OD∥A1B.∵点E,F分别是BB1,A1B1的中点,∴EF∥A1B,∴EF∥OD.∵EF⊄平面ADC1,DO⊂平面ADC1,∴EF∥平面ADC1.点拨：判断或证明线面平行的常用方法:利用线面平行的定义,一般用反证法;利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述;利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).【追踪训练2】(2020届陕西汉中联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且∠BAD=2π3,点M是PC的中点.(1)求证:PA∥平面MDB.(2)设菱形ABCD的边长为a,若PB⊥PD,三棱锥P-ABD的体积为63,求a的值.【解析】(1)连接AC,与BD交于点N,连接MN.由底面ABCD是菱形,知点N是AC的中点,又点M是PC的中点,∴MN∥PA,又MN⊂平面MDB,PA⊄平面MDB,∴PA∥平面MDB.解析(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD,又AB=AD,∴Rt△PAD≌Rt△PAB,∴PB=PD.由PB⊥PD,得2PB2=BD2,则由菱形ABCD的边长为a,∠BAD=2π3,可得BD=3a,∴PB=62a,PA=22a,∴VP-ABD=13S△ABD·PA=13×12a2×32×22a=624a3=63,解得a=2.【解析】(1)∵G,H分别为A1B1,A1C1的中点,∴GH∥B1C1.∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.【例3】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行的判定与性质解析点拨：证明两个平面平行的方法:①用定义,此类题目常用反证法来完成证明;②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”),通过线面平行来完成证明;③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明;④借助“传递性”来完成证明.面面平行常转化为线面平行,而线面平行又可转化为线线平行,需要注意转化思想的应用.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∴EF∥BC∥B1C1∥GH.又∵E,G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB,A1B1的中点,∴四边形A1EBG为平行四边形,A1E∥BG.∴平面EFA1中有两条相交直线A1E,EF分别与平面BCHG中的两条相交直线BG,BC平行,∴平面EFA1∥平面BCHG.(1)连接AE,AE与FD交于点O,∵四边形ADEF为平行四边形,∴O为FD的中点,O也为AE的中点.又∵M为AB的中点,连接MO,∴MO∥BE.∵MO⊂平面DMF,BE⊄平面DMF,∴BE∥平面DMF.(2)∵MN∥BD,GN∥DE,且MN,GN交于点N,DE,DB交于点D,∴平面BDE∥平面MNG.【追踪训练3】如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形且不共面,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.解析方法突破方法平行关系中的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若能找到使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.【突破训练】如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)当𝐴1𝐷1𝐷1𝐶1为何值时,BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求𝐴𝐷𝐷𝐶的值.解析【解析】(1)如图,取D1为线段A1C1的中点,此时𝐴1𝐷1𝐷1𝐶1=1,BC1∥平面AB1D1,证明如下:连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,∴O为线段A1B的中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,∴OD1∥BC1.又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.∴当𝐴1𝐷1𝐷1𝐶1=1时,BC1∥平面AB1D1,(2)由已知得,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.∴𝐴1𝐷1𝐷1𝐶1=𝐴1O𝑂𝐵,𝐴1𝐷1𝐷1𝐶1=𝐷𝐶𝐴𝐷.又∵𝐴1O𝑂𝐵=1,∴𝐷𝐶𝐴𝐷=1,即𝐴𝐷𝐷𝐶=1.