小船渡河——数学建模11

2．一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点，已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k，（1）建立小船航线的方程，求其解析解；（2）设d=100,v1=1m/s,v2=2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。（3）若流速v1为0，0.5，1.5，2(m/s)，结果将如何.模型建立：如图所示，以B为原点，沿河岸向右为x轴正向，垂直河岸向下为y轴正向，建立坐标系。设在t时刻，船在x方向上的位移是x(t)，在Y方向上的位移是y(t)。在t时刻，船在x方向上的速度是x'(t)，在y方向上的速度是y'(t)，将船的速度v和水度v1在x,y轴方向上分解，可得：vx=v1-v2sinvy=-v2cos又因为船头始终指向B点，所以：√√√√1、解析解:令x=rsin;y=rcos,将直角坐标化为极坐标，由导数的的链式法则，我们可以得到：dxsindrrcosddycosdrrsind由于dxvxdt,dyvydt，代入上式，可得：vxdtsindrrcosdvydtcosdrrsind最终解得：rdd(其中k=)MATLAB仿真:我们可以通过MATLAB观察小船的运动轨迹：a=pi/2:-0.01*pi:0;d=100;k=2;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,'-o')holdonk=1;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,'.')k=5;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,'-^')k=0.8;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,‘-*’)legend('k=2','k=1','k=5','k=0.8')解析解结论:由于当趋近于0时，r的极限存在与否与k有关，即：lm→0rlm→0d(2)klm→0d2kk−0,k1=d,k=1(其中k=)∞,k1由于x=rsin;y=rcos，最终可以得到小船运动轨迹的参数方程为：x=dtank(2)coty=dtank(2)(其中k=)2、数值解:下面将用龙格-库塔方法（ode45）对微分方程和微分方程组进行近似求解。源程序如下：％fun.m％此函数是微分方程组functionXdot＝fun(t，x，v1，v2)d=100，v1=1，v2=2；if(norm(x)1e-5)Xdot[v1-v2*x(1)/sqrt(x(1).^2+x(2).^2),-v2*x(2)/sqrt(x(1).2+x(2).^2];elseXdot=[0,0];endholdoff;x0=[0,-d];[t,x]=ode45(@fun,[0,1000],x0,[],v1,v2);plot(x(:,1),x(:,2),’r’);holdon;[t,x(:,1),x(:,2)]％下面是作出精确解的图像Seta=linspace(-pi/2,0,100);d=100,v1=1,v2=2;rou=d*(abs(tan(seta/2))).^(v2/v1)/sin(seta);xp=-rou.*cos(seta);yp=-rou.*sin(seta);plot(xp,yp,’r*’);图2v1=1时渡河路线图3v1=0时渡河路线图4v1=0.5时渡河路线图5v1=1.5时渡河路线图7v1=2.5时渡河路线图6v1=2时渡河路线注：在fun.m中,加入了(norm(x)1e-5)的限制条件,以保证在船离B点足够近时中止运算,否则无法得出正确结果。依次修改参数,V1运行结果如下:图2所示为v1=1的渡河路线,所用时间为:66.7秒。图3所示为v1=0时的渡河路线,说明在静水中,船沿直线到达B点。这与直观经验相符合,渡河时间为50秒。图4所示为v1=0.5时的渡河路线,渡河时间为:53.3秒。图5所示为v1=1.5时的渡河路线,渡河时间为:114.3秒图6所示为v1=2时的渡河路线,从图上看出,到t=1000秒时,船已到达对岸,但是并没有到达B点,而是在B点下游50米处。由于船头指向B点,即船头指向逆流方向,且船速(静水)等于水速,可知船将保持原地不动。也就是说,船永远到达不了B点。所以渡河时间为无穷大。图7所示为v1=2.5时的渡河路线,渡河时间与v1=2时情况类似,船能到达对岸,但是在B点下游。由于船速(静水)小于水速,船将被水冲得顺流而下,同样永远到达不了B点。结果分析：用龙格-库塔方法求得的曲线图，同解析解的结果相比较，可以看出，两种方法的结果基本上是相符的。但在接近B点时，解析解将无法得到正确解（分母为零的情况）。随着v1的变化，船的航线也在变化：1).当v1=0时，航线为直线；2).当0v12时，航线呈一个类似于抛物线的曲线，v1越大，“类抛物线”的顶点的横坐标越大，纵坐标也越大。即水速越大，航线的顶点顺流而下的距离越大；3).当v1=2时，船会静止在B点下游d/2的地方；4).当v12时，船在接近对岸后会顺流而下。这一切都与我们的直观感觉相符合。