描述对象特征随时间(空间)的演变过程

动态问题•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程第四讲微分方程建模一般处理动态连续问题4.1人口预测和控制4.2传染病模型方法•根据规律列方程•微元分析法•模拟近似法背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长4.1人口预测和控制指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式kkrxx)1(0x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数trtxtxttx)()()(今年人口x0,年增长率rk年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合•适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代•可用于短期人口增长预测•不符合19世纪后多数地区人口增长规律•不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设)0,()(srsxrxrr~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是x的减函数mxrs0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0xmxm/2xmxtxxxemmrt()()110tx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm•利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为281.4(百万)5.274)2000(x模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0•年龄分布对于人口预测的重要性•只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程离散：Leslie4.2传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模ttNitstittiN)()]([)]()([0)0()1(iiiidtdi~日接触率SI模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型21/2tmii010t11ln01itmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1itLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率ttNittitNstittiN)()()()]()([建模/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)]11([iidtdi模型3i0i0接触数=1~阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()]()([模型4SIR模型很小）通常000)0((1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质is~ttitNststtsN)()()]()([00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(sisi101D模型4SIR模型相轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:s01/i(t)先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s01/的估计0ln1000sssis0i忽略•降低s0提高r01000ris•提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=模型5传染病有潜伏期SEIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为)(),(),(),(trtetsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()()(trtetits建立方程)(),(),(),(trtetsti3）单位时间内潜伏者以比例常数转为染病者模型5SEIR模型000)0(,)0(,)0(eessiiidtdriedtdiesidtdesidtds