时间序列预测法

时间序列预测法定量方法介绍时间序列•所谓时间序列，是指观察或记录到的一组按时间顺序排列的数据，经常用X1,X2,…Xn表示。序列包含了产生该序列的系统的历史行为的全部信息。•基本思想:根据系统有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预报•时间序列分析简称时序分析,是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学科的一个分支。时序分析特点•1.根据预测目标过去至现在的变化趋势预测未来的发展,它的前提是假设预测目标的发展过程规律性会继续延续到未来,即以惯性原理为依据。•2.时间序列数据的变化存在着规律性与不规律性.每一时期的数据，都是由许多不同的因素同时发生作用的综合结果.些因素分为T、S、C、I四类.•3.时间序列是一种简化。将预测对象与许多外部因素的复杂联系简化为与时间的联系。移动平均法•移动平均法是根据时间序列，逐项推移，依次计算包含一定项数的移动平均数，据以进行预测的方法。•移动平均法主要有：•一次移动平均法•二次移动平均法一次移动平均预测法•基本思想：每次取固定数量的数据平均，按时间顺序逐次推进。每推进一个时期，舍去前一个时期的数据，增加一个新时期的数据，再进行平均。即用(xt+xt-1+…+xt-N+1)/N预测xt+1。•注意：1、一次移动平均法一般适应于平稳模式，当被预测的变量的基本模式发生变化时，一次移动平均法的适应性比较差。2、一次移动平均法一般只适用于下一时期的预测。3、常用对过去数据预测的均方误差MSE来作为选取N的准则.KNtttYY12)ˆ(NK1MSE案例•某农机公司某年1月至12月某种农具的销售量如表。试用一次移动平均法预测次年1月的销售量•分别取N=3，N=5，计算各月的一次移动平均数。•由计算结果可见，MSE3MSE5，故选取N=5，预测次年1月该农具的销售量为448件数据与计算过程误差平方和计算表月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5预测销售量误差平方预测销售量误差平方1423235834344445405160055274121322564294691600437647426467168143916985024611681452250094804527844661961038446972254737921114274557844463611244643025644444194482883611215二次移动平均预测法•一次移动平均法当用来预测一组具有趋势的数据时估计值往往比实际值偏低(或偏高)。•二次移动平均是在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。•二次移动平均建立直线趋势(Xt+T=at+btT)预测模型110)1(NjjttXNM110)2()2(NjtjtMNM)1/()(22)2()1()2()1(NMMbMMatttttt可推导出二次移动平均预测公式推导TbaXttTtttNjttNjjttbNajbaNXNM21))((111010)1(tttNkttNkkjtjtbNjbakjbaNXNM21))((111010)1(ttNjtttNjjttbNabNjbaNMNM)1()21(111010)1()2()1/()(22)2()1()2()1(NMMbMMatttttt可解出案例•已知某商品连续12个月的市场需求量如表所示，试用二次移动平均法预测5个月后的市场需求量。（取N=5）•分别计算当前时期t=12的一次移动平均数Mt（1）和二次移动平均数Mt（2）。得：M12（1）=74，M12（2）=688068742MM2aa)2(12)1(1212t3)6874(152)MM(1N2bb)2(12)1(1212t（千吨）：时，求9553805512512XXT案例数据某商品市场需求量单位：千吨时期数t需求量Yt一次移动平均数二次移动平均数150250353456559546625676559868629716559107468621177716512807468指数平滑法•在实际经济活动中，最新的观察值往往包含着最多的关于未来情况的信息。所以更为切合实际的方法是对各期观察值依时间顺序加权。•指数平滑法正是适应于这种要求，通过某种平均方式，消除历史统计序列中的随机波动，找出其中的主要发展趋势。•根据平滑次数的不同，有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑和高次指数平滑之分，但高次很少用。•指数平滑法最适合用于进行简单的时间序列分析和中、短期预测。一次指数平滑法•一次指数平滑值计算公式)1(SS)1(S)1(1(1)t(1)1-t(1)ttttMXX或：——平滑系数，且01。一次指数平滑法预测模型(本期平滑值作为下期预测值))1(1tttXXX平滑系数与初始值的确定•指定或估计的方法有两种：当时间序列的项数较多时，初始值对最终的预测结果影响相对小一些，可以指定第一项的值为初始值，即S0(1)=X1；当时间序列的项数较少时，初始值的大小对最终预测结果的影响就不容忽视，通常是选取前几项的平均值作为初始值。•起到一个调节器的作用。如果值大，则预测值受近期影响大。可多选几个值进行试算，用对过去数据预测的均方误差S来作为选取的准则。二次指数平滑法•当时间序列的变动呈线性趋势时，可采用二次指数平滑法。•二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。•参照一次指数平滑值的计算，二次指数平滑值可采用下式计算：)1()2(1)1()2(t-ttSααSS线性趋势的二次平滑预测模型•若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可以建立线性趋势预测模型：Xt+T=at+btT•at、bt的估计式：SS2a2t1tt）（）（]SS[1b2t1tt）（）（案例•已知某商品最近12个月的国际市场需求量，取平滑系数=0.3，试用二次指数平滑法预测6个月之后国际市场的需求量。•解：先计算出各一次和二次指数平滑值列。06.1)75.4923.52(3.013.0]S[S1b71.5475.4923.522SS2a75.49S23.52S,12t(2)12(1)1212(2)12(1)1212(2)12(1)12。，时当TX06.171.54T12)(07.61606.171.54612万吨X案例数据某商品的需求量及指数平滑值单位：万吨月份市场需求量一次指数平滑值二次指数平滑值tYtSt（1）St（2）150505025250.650.1834749.5249.9845149.9649.9754949.6749.8864849.1749.6775149.7249.6884046.848.8294847.1648.32105248.6148.41115149.3348.68125952.2349.75三次指数平滑法•当时间序列的变动呈现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法进行预测。•三次指数平滑法是在二次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。•参照一次指数平滑值和二次指数平滑值的计算，三次指数平滑值采用下式计算：S)1(SS(3)1-t(2)t(3)t三次指数平滑法的预测模型•若时间序列具有二次曲线趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可以建立二次曲线趋势预测模型：Xt+T=at+btT+ctT2•at、bt、ct的估计式：]SS2S[)1(2c]S)34(S)45(2S)56[()1(2bSS3S3a3t2t1t22t3t2t1t2t3t2t1tt）（）（）（）（）（）（）（）（）（案例•某地区近年来国有企业固定资产投资总额列于表9-6，试用三次指数平滑法预测2002年固定资产投资总额。（取=0.3）62.1)43.6828.101277.151()3.01(23.0c38.38]43.68)3.034(28.101)3.045(277.151)3.056[()3.01(23.0b90.21943.6828.101377.1513a221121111)(14.303262.1238.3890.219Yˆ2211亿元案例数据表9-6固定资产投资总额及指数平滑值单位：亿元年份时期数投资总额一次指数平滑值二次指数平滑值三次指数平滑值YtYtSt（1）St（2）St（3）1990120.0421.3721.7721.891991220.0620.9821.5321.781992325.7222.421.7921.781993434.6126.0623.0722.171994551.7733.7826.2823.41995655.9240.4230.5325.541996780.6552.4937.1129.0119978131.1176.0748.834.9519989148.5897.8363.5143.52199910162.67117.2879.6454.35200011232.26151.77101.2868.43时间序列的分解•经济时间序列的变化受多因素影响，主要分为四种，即长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)、周期变动因素(C)和不规则变动因素(I).•长期趋势因素(T)反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线(曲线)的持续趋势。•季节变动因素(S)是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。•周期变动因素(C)也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。季节变动的波动长度固定，周期变动的长度一般是不同。•不规则变动(I)又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的。时间序列分解模型•将时间序列分解成长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动四个因素后，可认为时间序列Y是这四个因素的函数，即:Yi=f(Ti,Si,Ci,Ii)•加法模型为:Yi=Ti+Si+Ci+Ii•乘法模型为:Yi=TiSiCiIi•相对而言，乘法模型应用得较广泛。在乘法模型中，时间序列值(Y)和长期趋势用绝对数表示，季节变动、周期变动和不规则变动用相对数(百分数)表示。加法模型分解预测法•已知•加法模型：yt=Tt+St+Ct+εt•满足n21y,y,y0S41ii续上续上时间序列乘法模型分解方法•1.运用移动平均法消除季节和随机因素影响(移动平均除数是周期数;可用居中平均修正)，即用MA=T×C分析长期趋势和循环变动;用X/MA=S×I分析季节性和随机性;然后对S×I用按同月（季）平均法求出季节指数S(按平均季节指数归一修正)。•2.对消去季节影响的序列X/S做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势,得到长期趋势T。•3.计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。•4.将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动。案例•现有某商品销售额的12年的季度数据在文件。用乘法模型分解，并预测第13年各季度的销售额。•1-48个季度数据：•y=c(3017.6,3043.54,2094.35,2809.84,3274.8,3163.28,2114.31,3024.57,3327.48,3493.48,2439.93,3490.79,3685.08,3661.23,2378.43,3459.55,3849.63,3701.18,2642.38,3585.52,4078.66,3907.06,2828.46,4089.5,4339.61,4148.6,2916.45,4084.64,4242.42,3997.5