随机过程-考试题与答案

西南交通大学考试试卷课程名称随机过程与时间序列分析——学年第学期学号开课系数学系姓名任课老师评分一、填空题（每小题5分，共20分）1、设正态过程()Xt的均值函数0)(tmX（Tt），自相关函数2||exp6)(XR，则此过程中随机变量)2(),1(),(tXtXtX的协方差矩阵C1121122112666666666eeeeee，或||()()60,2ijijijXCCCRijeij2、设{(),0}Ntt是一强度为的泊松过程，{(),1}Xnn是独立且服从正态分布2(0,)N的随机变量列，且()Nt与()Xn相互独立。则()1()()(0)NtnYtXnt的特征函数()()Ytv22(1)[()1][exp{/2}1]Xttvee3、设0),(nnX为一齐次马氏链，其状态空间,21,0E，它的一步转移概率为000110111221221/4,3/4,1/3,1/4,3/4,ppppppp则两步转移概率(2)01p0113311704443416kkkpp4、设平稳过程的自相关函数为()sin||aXReb，则其谱密度为()XS2222()()bbabab二、简答题（每小题10分，共20分）1、什么是平稳过程的自相关函数遍历性，如何判别？答：1）若()()()[()()]XXtXtREXtXt依概率1成立，即对任意0，0lim(()()())1XPXtXtR称()Xt的自相关函数具有遍历性。(5分)2）充要条件：设{(),(,)}Xtt是均方连续的平稳过程，对固定的，()()()ZtXtXt也是均方连续的平稳过程，则()Xt的自相关函数()XR具有遍历性的充要条件是2211121lim1(()())022TZXTTRRdTT其中111()[()()()()]ZREXtXtXtXt(5分)2、什么是()ARp，()MAq与(,)ARMApq模型，如何识别？答：1）()ARp，()MAq与(,)ARMApq模型是线性时间序列模型，一般中心化形式为：1122():tttptptARpxxxxqtqttttxqMA2211:)(qtqtttptptttxxxqpARMA22112211:),(其中,()0ststEx，2~(0,)tWN注：一般形式也可(6分)2）根据()ARp，()MAq与(,)ARMApq序列的自相关函数与偏相关函数的截尾性质判断{}tx属于哪种类型，即初步的模型识别：①若自相关函数ˆ{}k满足：ˆ||2/(,1,,)kNkqqM的个数在95%以上，则可认为ˆ{}k在q步截尾，则可认为模型为()MAq序列；②若偏相关函数ˆ{}kk满足：ˆ||2/(,1,,)kkNkppM的个数在95%以上，则可认为ˆ{}kk在p步截尾，则可认为模型为()ARp序列；③若自相关函数ˆ{}k与偏相关函数ˆ{}kk都拖尾，则可考虑模型为(,)ARMApq序列。此时使用从低阶到高阶的方式尝试确定模型的阶数。(4分)三、计算题1、（20分）设到达某图书馆的读者组成一泊松流，平均每40分钟到达10位。假定每位读者借书的概率为0.3，且与其它读者是否借书相互独立，若令}0),({ttY是借书读者流，试求：（1）在[0,)(0)tt内到达图书馆的读者数()Nt的概率分布；（2）借书读者数()Yt的概率分布；（3）每小时平均到达图书馆的读者人数与每小时平均借书读者数；（4）第4位借书读者到达时刻的概率密度。解：设t的单位为分钟，则()Nt是强度为1010.25404的泊松过程，故（1）()0.25Ntt，0.25(0.25){()}0,1,2,!kttPNtkekk(5分)（2）由泊松过程的分解定理知()0.250.30.075Yttt即0.075(0.075)()0,1,2,!kttPYtkekk(5分)（3）每小时平均到达图书馆的读者人数为(60)0.256015EN（人）每小时平均借书读者数(60)0.075604.5EY（人）(5分)（4）第4位借书读者到达时刻的概率密度服从Erlang分布，其密度为：4430.0750.0750()600ttetftt(5分)2、（15分）设0),(nnX为一齐次马氏链，其状态空间2,1,0E，且其初始分布012(0)0.7,(0)0.2,(0)0.1ppp，其一步转移矩阵为0.400.60.50.500.10.60.3P（1）计算概率2)2(,1)1(,1)0(XXXP；(5分)（2）二步转移矩阵；(5分)（3）绝对概率2,1,0,)2(iiXP。(5分)解：（1）005.02.02)2(,1)1(,1)0(XXXP（2）(2)0.400.60.400.60.220.360.420.50.500.50.500.450.250.300.10.60.30.10.60.30.370.480.15P（3）2(2)00(2)0(0)0.70.220.20.450.10.370.281kkkPXpp2(2)10(2)1(0)0.70.360.20.250.10.480.35kkkPXpp2(2)20(2)2(0)0.70.420.20.30.10.150.369kkkPXpp3、（15分）试判断下列模型的平稳性与可逆性，并给出逆转形式：1）120.24ttttx；2）110.20.4ttttxx解：1）此为MA序列，模型自然是平稳的，再由2()10.240uuu的两根1.7,2.5均大于1，故模型是可逆的；120.24ttttx的逆转形式为：jtjjjttxxBB]4.026.03[)4.01)(6.01(1001[30.620.4](10.6)(10.4)jjtttjxxBB(8分)2）此为ARMA序列，因为()10.20uu的两根5的绝对值均大于1，故此模型是平稳的；又由于()10.40uu两根2.5的绝对值均大于1，故模型还是可逆的。110.20.4ttttxx的逆转形式为：jtjjtjtjjttxxxBxBB0104.06.04.0)2.01()4.01(2.01(7分)四、证明题（10分）证明如下函数不可能是实平稳过程的自相关函数：0023()0aaf其它证明：如果()f是自相关函数，则相应的谱密度应为000()()()cos(32)cosiSfedfdaad0002(32)cosaad0000146sincosaad0000006411sin[sin|sin]aad00000206411sin[sincos|]aa002024sin(1cos)aa这显然不是偶函数，因此函数()f不可能是实平稳过程的自相关函数。其它方法酌情给分。