《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式2aabbb=___________。（2）二阶行列式cossinsincos=___________。（3）二阶行列式2abibaabi=___________。（4）三阶行列式xyzzxyyzx=___________。（5）三阶行列式abccabcabbca=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.2ab；4.3333xyzxyz；5.4abc。【2】选择题（1）若行列式12513225x=0，则x=（）。A-3；B-2；C2；D3。（2）若行列式1111011xxx，则x=（）。A-1，2；B0，2；C1，2；D2，2。（3）三阶行列式231503201298523=（）。A-70；B-63；C70；D82。（4）行列式00000000ababbaba=()。A44ab；B222ab；C44ba；D44ab。（5）n阶行列式010000200001000nn=（）。A0；Bn！；C（-1）·n！；D11!nn。答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。【3】证明33()byazbzaxbxayxyzbxaybyazbzaxabzxybzaxbxaybyazyzx答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135（2n-1）246（2n）；（2）246（2n）135（2n-1）。答案：（1）12n（n-1）；（2）12n（n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：（1）152332445166aaaaaa；（2）215316426534aaaaaa；（3）615243342516aaaaaa答案：（1）正号；（2）负号。【7】根据定义计算下列各行列式：（1）0000100020003000400050000；(2)111422233233414400000000aaaaaaaa；（3）000100200100000nn；（4）0001000200100000000nn答案：（1）5！=120；（2）114414412233233211223344112332441422334114223341aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa；（3）(1)2(1)!nnn；（4）(1)(2)2(1)!nnn。【8】计算下列行列式：（1）1312153404115136；（2）3111131111311113；（3）1111123414916182764；（4）222233331111abcdabcdabcd。答案：（1）-136；（2）48；（3）12；（4）（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）【9】计算下列n阶行列式：（1）10001110000110000011；（2）111112221233123n；（3）123n-103n-1-20n-1-2-3n；（4）3222232222322223；（5）1232341112121nnnnnn。答案：（1）1+12(1)0nnn为奇数为偶数；（2）1；（3）n！（4）2n+1；（5）nn-1n-1n+1n2（）2（-1）。【10】计算下列行列式：（1）11121212223132312nnnnnnnabababababababababababab；（2）0000000000000000ababaabba（n阶）；（3）2(1)0000000000000aahahanhanhaaaaaaa；（4）11223000000000000011111nnaaaaaaa。答案：（1）n=2时，行列式等于bb2121（-)(a-a)；n≥3，行列式为0；（2）1(1)nnbna；（3）1(1)(2)2nnanha；（4）1(1)(1)nniina【11】计算n+1阶行列式：120111100100100naaa（ia0；i=1，2，n）答案：1211nniiaaaa(0;1,2,,)ain.【12】解下列线性方程组：（1）12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx；（2）1234512345123451234512345464504650446064404640xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx。答案：（1）12341,2,3,1xxxx；(2)123450xxxxx.【13】计算n阶行列式123axaaaaaxaaDaaaxaaaaa于是12111111nnnDaxxxxxa【14】证明2cos100012cos100012cos00sin1sin0002cos100012cosnnD由归纳假设，得sin1sinnnD【15】计算五阶行列式1234512345123451234512345xaaaaaxaaaDaaxaaaaaxaaaaax可以得到123123123111231nnnniniiiiiinxaaaaxaaaaaxaxaxaaaax【16】证明123121111111111111111111nnniinaaDaaaaaa证明：略【17】.证明'''111213111213212223212223313233313233111213111213'''212223212313233()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()atatatatatatdatatatatatatdtatatatatatatatatatatatatatatatataatatat223'''313233()()()()()tatatatat答案与提示：提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。【18】.计算n阶行列式：（1）211112122221333211sinsinsin1sinsinsin1sinsinsin1sinsinsinnnnnnnn；（2）121111222212coscoscos1coscoscos1coscoscos1nnnnnnnnn。答案与提示：（1）(1)211(sinsin)2cossin22nnijijijjinjin（2）nn-1(1)211(coscos)2sinsin22nnijijijjinjin（）2（-1）【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：（2）1231112212322223312312212110001000111000xxxabcabxxxcabxxxcxxx；（3）11111111112222221111!111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaababbaababbaababb(0,1,2,,1)iain；（4）abababbabababa答案与提示：（2）222213232()()()xxxxxx；（3）11()jjijinbaabj（4）22()nab【20】.证明下列等式：（1）1100010001000001nn；（2）cos100002cos100cos012cos0000012cosn。答案与提示：（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。（2）提示：用归纳法证。【21】304022220-70053-22D（01403）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为（）【22】（96503）五阶行列式1aa000-11-aa000-11-aa000-11-aa000-11-ad.第二章【1】填空题设A是三阶方阵，*A是A的伴随矩阵，A的行列式A=12，则行列式1*(3)2AA___________。【2】假设A=（ija）是一个n阶非零矩阵，且A的元素ija（i，j=1，2，，n）均为实数。已知每一个元素ija都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n3时A=1或-1。【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。（1）若矩阵A的行列式A=0，则A=0；（2）若AE=0，则A=E；（3）若A，B为两个n阶矩阵，则ABAB；（4）若矩阵A0，B0，则AB0.【4】设A，B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？（1）222()2ABAABB；（2）22()()ABABAB；【5】计算AB和AB-BA。已知（1）311212123A，111210101B（2）111abcAcba，111acBbbca。答案：（1）622610812AB，222200442ABBA；（2）22222222223abcabcacbABabcacbabcabcabc，222222222222232bacabcbabcbacacABBAcbcacbabcabbccacbcbac；【6】计算下列矩阵乘积：（1）111201312110110；（2）（x，y，1）abdbcedef1xy。答案：（1）203214；（2）22222axbxycydxeyf。【7】计算cossinsincosn，并利用所得结果求40110。答案：提示：用数学归纳法可证cossincossinsincossincosnnnnn。当2时，cossin01sincos10。故401cos2sin21010sin2cos201【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明（1）2A，2B都是对称矩阵；（2）AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。【10】求矩阵X，已知：（1）211230123321X101456101211312；（2）247610203X131093答案：（1）142043022X；（2）021300X【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵1A;(1)aAbcd,其中ad-b