量子力学期末复习总结课件

1三个实验现象经典物理的理论无法解释黑体辐射光电效应氢原子光谱从而诞生了量子力学引入新的理论黑体辐射、光电效应和康普顿散射揭示了光的波粒二象性绪论2我们总是把自己最和蔼的一面留给陌生人，最暴躁的一面给亲人。四年前，也是这个时候，同样的场景，我迈入的期望已久的大学校园。当时的我一脸稚气，对大学生活满怀憧憬。还记得来大学的第一天，举家送我来到大学，来到大学的宿舍。来到宿舍楼下时“宿舍在7楼，来把东西给我，我来拿。”“别烦，我自己不会拿吗？早就叫你们不要送了，你们跟着烦不烦？”“儿子上大学，一个人没出过远门，我们一起跟来放心。”“我来帮你拿吧，那箱子挺重的。”说罢我伸过手去。“不用，不重，马上就到了。”父亲看着我迎来的手撇过身去。看着父亲提着箱子走在楼梯上，那一缕阳光使父亲的白发格外的刺眼。弓着的背，裤脚上的泥点，脸上却格外的阳光。来到宿舍时，已经不剩几个床位了，我一扫剩下的几个床位，心里已经默默的有了决定，还没等我说出口，父亲就已走向那个靠窗的，干净的二层小床。跟母亲熟练的拿出被褥跟衣服在床上整理着。看着舍友疑惑的看着我，我立即打断了他们：“你们别整理了，我都这么大了，这些东西我会整理。”父母虽然口中不断说着好的锻炼锻炼你自己让你自己整理，手中却不停的翻拉着被褥：“你看，这个应该这样叠，床铺要铺好，要Bohr原子轨道量子化1、玻尔的量子论1913年，Bohr把Planck—Einstein的概念运用来解决原子结构和光谱的问题，提出了原子的量子论，其中极为重要的两个概念（假定）：定态假设与量子跃迁（1）定态假定假设电子围绕原子核做圆周运动时，只能处在一些分立的稳定状态，简称定态。假设在定态时，电子的轨道角动量也是量子化的，只能取约化普朗克常数的整数倍，这些轨道才是稳定的。定态概念是为了解决电子绕原子核转动时稳定存在而不辐射的问题而提出的n2hnL3（2）量子跃迁电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，称为跃迁。当原子从高能级定态向低能级定态跃迁时，发出一个光子。反之，则吸收一个光子。发射或吸收的光子频率ν是唯一确定的，由频率条件给出：mnEE4微粒的粒子性与波动性的关系：hEknhp5第二章：波函数和Schrodinger方程6§2.1波函数的统计解释§2.2态叠加原理§2.3波函数随时间的变化－Schrodinger方程§2.4粒子流密度和粒子数（量子力学）守恒定律§2.5定态Schrodinger方程§2.6一维无限深方势阱7§2.1波函数的统计解释8§2.1波函数的统计解释波函数是描述微观粒子的状态由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值，这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率可以由一个函数得出——波函数只要系统的波函数已知，系统的其它性质也可以知道：由波函数可以得到体系的各种性质，因此我们说波函数描述体系的量子状态（简称状态或者态）9概率波：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在改点找到粒子的概率成正比例。按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波假设波函数),,,(tzyx描写粒子的状态，在空间一点（x,y,z）和时间t，波的强度是的共轭复数表示,2概率密度强度与在该时刻改点找到粒子的概率成正比2),,,(),,,(tzyxtzyx10波函数归一化条件根据波函数的统计诠释，在任何时刻，对于一个粒子而言，一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件。粒子在整个空间出现的概率为“一”假如波函数的概率有限，但不等于“一”，则可以将波函数乘以一个常数，使概率等于“一”。这个常数就是归一化因子11121314小结：描写微观粒子的量子状态),(tr：表示几率密度，描述微观粒子在该点出现的概率1),,,(dCdtzyx概率密度对整个空间求积分为“1”15§2态叠加原理162211cc如果是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理12态叠加原理17已知：Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2那么空间找到电子的几率则是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]电子穿过上狭缝出现在Ｐ点的几率密度电子穿过下狭缝出现在Ｐ点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。量子力学遵从态叠加原理，概率密度是否遵从叠加原理？这表明粒子穿过双狭缝后在P点出现的概率密度一般不等于穿过上狭缝到达P点的概率密度与穿过下狭缝到达P点的概率密度之和，而需要加上干涉项！18以上是Ψ表示为两个态Ψ1和Ψ2的线性叠加，推广到一般的情况，态Ψ可以表示为许多态Ψ1、Ψ2、Ψ3、、、、Ψn的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2、、、、+CnΨn这就是量子力学的态叠加原理。强调：态叠加原理指的是波函数，不是指概率叠加2222112cc§2.2态叠加原理19§2.3波函数随时间的变化－Schrodinger方程20tiEip量子力学能量算符量子力学动量算符量子力学的两个算符21§2.4粒子流密度和粒子数（量子力学）守恒定律222|),(|),(),(),(trtrtrtr波函数是用来描述粒子在某一时间某一位置粒子出现的概率（概率密度）是：几率守恒定律)(2miJ几率流密度23质量守恒定律2),,,(tzyxmmm质量密度，为质量与概率乘积质量流密度，为质量与概率流密度乘积)(2imJJm0mmJt质量守恒定律24电荷守恒定律2),,,(tzyxqqq电荷密度，为电荷与概率乘积电流密度，为电荷与概率流密度乘积)(2iqJJq0qqJt电荷守恒定律25波函数标准条件式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要使积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续总之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。26§2.5定态薛定谔方程27)(222rUmti一般的薛定谔方程针对一般的薛定谔方程可以是时间的函数，在这种情况下，通过初态波函数去求解末态波函数很难)(rU)0,(r),(tr目前我们只讨论不随时间变化的情况。薛定谔方程可以利用分离变量法求特解，薛定谔方程性质，时间部分和空间部分是分离的，薛定谔方程的解可以表示为空间部分乘以时间部分)(rU)()(),(tfrtr空间部分时间部分28方程时间部分所描述的状态是具有确定能量的状态，因而，我们称为定态，我们称为定态波函数tiEertfrtr)()()(),(波函数),(trErUm)(222称为定态薛定谔方程29求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方程)()(]2[22rErU（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：,,,,,,,2121nnEEE，本征函数本征值：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数]/exp[)(),(tiErtrnnn（4）通过归一化确定归一化系数Cn1|)(|2drCnn30例题一个质量为m的粒子在一维势场)(xVax,0axV,0中运动，其中，写出两种条件下的定态薛定谔方程？00VEm222EVm022231§2.6一维无限深方势阱32一、列出各势域上的薛定谔方程；二、求解薛定谔方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）33什么是一维无限深势阱问题？在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内（-axa）为零，而在此区域外势能为无限大U(x)=0|x|aU(x)=∞|x|a由于体系的势能U(x)不随时间变化，因此一维无限深势阱在阱内满足定态薛定谔方程34定态薛定谔方程)()()](2[222xExxUdxdm35第一步：列出各势区域上的薛定谔方程36第I区域和第III区域0|x|a针对一维无限深势阱，可以分为三个区域：第一个区域和第三个区域，由于势能为无穷大，因而，这两个区域的波函数为零EUdxdm2222定态薛定谔方程:37EUdxdm2222针对区域II由于势阱内部势能为零，此时薛定谔方程可以简写为：22mE02222mEdxd|x|a0222dxd|x|a|x|axBxAcossin方程的解U=038二阶常系数齐次线性微分方程02yqypyiqxiqxeCeCy2102yqyqxCqxCycossin21或者或者)sin(1qxCy三个方程是等价的39第二步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数40根据波函数的连续性代入到下面的方程0)(xBxAcossin0cossinaBaA0cossinaBaA得到0sinaA0cosaB由于A和B不能同时为零，因而，得到两组解（1）（2）A=00cosaB=00sina......3,2,1,2nna4122228manEn......3,2,1,2nna22mE一维无限深粒子的能量的能级公式：22228manEn能级分布是不均匀的，能级越高，能级之间的间距就越大42两组波函数n=xanA2sinN为正偶数，|x|a0|x|≥a（1）n=xanB2cosN为正奇数，|x|a0|x|≥a（2）43第三步：波函数归一化44再由波函数的归一化条件1)(2dxxnaBA1n=xana2cos1N为正奇数，|x|a0|x|≥an=xana2sin1N为正偶数，|x|a0|x|≥a于是波函数45n=tiExeana2cos1N为正奇数，|x|a0|x|≥an=tiExeana2sin1N为正偶数，|x|a0|x|≥a于是波函数根据定态波函数公式本征函数tiEextx)(),(46[小结]由无限深方势阱问题的求解可以看出，解薛定谔方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的薛定谔方程；二、求解薛定谔方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。47§2.7一维有限深势阱482/,02/,0)(0axVaxxV仅讨论束缚态（0＜E＜V0）情况按阱内与阱外三个区求解粒子所满足的定态薛定谔方程为：EUdxdm2222IIIIII一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域为零（）22axa而在此区域外，势能为0V49粒子所满足的定态薛定谔方程为：EUdxdm2222第一步：写出定态薛定谔方程50第二步：分区写出定态薛定谔方程51IIIIII势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：)(202EVm令xxBeAex)(得一般解为：)()()(20222xExVxdxdm→0)()(2)(0222xEVmxdxd→0)()(2xx考虑到无穷远波函数为0，得：2/,)(1axAexx第一区域2/-,)(3axBexx第三区域52kxDkxCcossin2其解为势阱内区：第二区域，薛定谔方程为：222mEk令→02