期权价值敏感性——希腊字母汇总

1第三章期权敏感性（希腊字母）顾名思义，期权敏感性是指期权价格受某些定价参数的变动而变动的敏感程度，本章主要介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标，这些敏感性指标也称作希腊值（Greeks）。每一个希腊值刻画了某个特定风险，如果期权价格对某一参数的敏感性为零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。实际上，当我们运用期权给其标的资产或其它期权进行套期保值时，一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零，这样就能起到消除相应风险的套期保值的目的。本章将主要介绍Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho五个常用希腊字母。符号风险因素量化公式Delta标的证券价格变化权利金变化/标的证券价格变化Gamma标的证券价格变化Delta变化/标的证券价格变化Vega波动率变化权利金变化/波动率变化Theta到期时间变化权利金变化/到期时间变化Rho利率变化权利金变化/利率变化本章符号释义：T为期权到期时间S为标的证券价格，0S为标的证券现价，TS为标的证券行权时价格K为期权行权价格r为无风险利率为标的证券波动率t为资产组合在t时刻的价值()为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机(如Excel)求得'()N为标准正态分布的密度函数，22'()2xeN2第一节Delta（德尔塔，）1.1定义Delta衡量的是标的证券价格变化对权利金的影响，即标的证券价格变化一个单位，权利金相应产生的变化。新权利金=原权利金+Delta×标的证券价格变化1.2公式从理论上，Delta准确的定义为期权价值对于标的证券价格的一阶偏导。S期权价值根据Black-Scholes期权定价公式，欧式看涨期权的Delta公式为：)(1dN（3.1）看跌期权的Delta公式为：1)(1dN（3.2）其中21ln()(2)SKrTdT（3.3）()为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机(如Excel)求得。显然，看涨期权与看跌期权的Delta只差为1，这也正好与平价关系互相呼应。案例3.1有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期，此时上证50ETF价格为1.800元。无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Delta为0.4255。在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的价格变为1.810元，即增加了0.010元，则期权理论价格将变化为：0.0730.4255(1.8101.800)0.0730.42550.0100.077元31.3性质1)期权的Delta取值介于-1到1之间。也就是说标的证券价格变化的速度快于期权价值变化的速度。2)看涨期权的Delta是正的；看跌期权的Delta是负的。对于看涨期权，标的证券价格上升使得期权价值上升。对于看跌期权，标的证券价格上升使得期权价值下降。图3-13)随标的价格的变化：对于看涨期权，标的价格越高，标的价格变化对期权价值的影响越大。对于看跌期权，标的价格越低，标的价格变化对期权价值的影响越大。也就是说越是价内的期权，标的价格变化对期权价值的影响越大；越是价外的期权，标的价格变化对期权价值的影响越小。案例3.2有两个行权价为1.900的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，波动率为20%。则：221ln()(2)ln(1.81.9)(0.0350.202)0.50.18790.200.5SKrTdT1=()=(0.1879)=0.4255DeltaNdN看涨期权1=()1=(0.1879)1=-0.5745DeltaNdN看跌期权4图3-24)Delta随到期时间的变化：看涨期权：价内看涨期权（标的价格行权价）Delta收敛于1平价看涨期权（标的价格=行权价）Delta收敛于0.5价外看涨期权（标的价格行权价）Delta收敛于0看跌期权：价内看跌期权（标的价格行权价）Delta收敛于-1平价看跌期权（标的价格=行权价）Delta收敛于-0.5价外看跌期权（标的价格行权价）Delta收敛于0图3-35第二节Gamma(伽马，)2.1定义在第一节里我们用Delta度量了标的证券价格变化对权利金的影响，当标的证券价格变化不大时，这种估计是有效的。然而当标的证券价格变化较大时，仅仅使用Delta会产生较大的估计误差，此时需要引入另一个希腊字母Gamma。Gamma衡量的是标的证券价格变化对Delta的影响，即标的证券价格变化一个单位，期权Delta相应产生的变化。新Delta=原Delta+Gamma×标的证券价格变化Gamma同时也间接度量了标的证券价格变化对权利金的二阶影响。新权利金=原权利金+Delta×标的价格变化+1/2×Gamma×标的价格变化22.2公式从理论上，Gamma的定义为期权价值对于标的证券价格的二阶偏导。22GammaS期权价值Gamma衡量了Delta关于标的资产价格的敏感程度。当Gamma比较小时，Delta变化缓慢，这时为了保证Delta中性所做的交易调整并不需要太频繁。但是当Gamma的绝对值很大时，Delta对标的资产变动就很敏感，为了保证Delta中性，案例3.3有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期，此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Delta为0.4255，Gamma为1.540。在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的价格变为1.850元，即增加了0.050元，则Delta将变化为0.42551.540(1.8501.800)0.42551.5400.050.5025期权价格将变化为210.0730.42550.051.5400.050.0962元6就需要频繁的调整。根据Black-Scholes公式，对于无股息的欧式看涨与看跌期权的Gamma公式如下：TSdN)(1'(3.4)其中，1d由式（3.3）给出，)('N为标准正态分布的密度函数。在参数相同时，看涨期权、看跌期权的Gamma是相同的。2.3性质1）期权的Gamma是正的。标的证券价格上涨，总是使期权的Delta变大。图3.4案例3.4有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。则221ln()(2)ln(1.81.9)(0.0350.202)0.50.18790.200.5SKrTdT221'12(0.1879)20()===1.54021.8000.2020.5dNdGammaGammaSTeeST看涨期权看跌期权72）Gamma随标的价格的变化：当2(32)rTSKe时，Gamma取得最大值2()12rTKeT。图3.53）Gamma随到期时间的变化：平价期权（标的价格等于行权价）的Gamma是单调递增至无穷大的。非平价期权的Gamma先变大后变小，随着接近到期收敛至0。图3.684)Gamma随波动率的变化：波动率和Gamma最大值呈反比，波动率增加将使行权价附近的Gamma减小，远离行权价的Gamma增加。图3.7第三节Vega(维嘉,)3.1定义Vega衡量的是标的证券波动率变化对权利金的影响，即波动率变化一个单位，权利金应该产生的变化。新权利金=原权利金+Vega波动率变化3.2公式案例3.5有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Vega为0.4989。在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的波动率变为21%，即增加了1%，则期权理论价格将变化为0.0730.4989(0.210.20)0.0730.49890.010.078元9从理论上，Vega准确的定义为期权价值对于标的证券波动率的一阶偏导。Vega期权价值根据Black-Scholes理论进行定价，则'1()VegaSTNd(3.5)其中，1d由式（3.3）给出，)('N为正态分布的密度函数。在参数相同时，看涨期权、看跌期权的Vega是相同的。3.3性质1）期权的Vega是正的。波动率增加将使得期权价值更高，波动率减少将降低期权的价值。案例3.6有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。则221ln()(2)ln(1.81.9)(0.0350.202)0.50.18790.200.5SKrTdT221'12(0.1879)2==()1.80.50.498922dVegaVegaSTNdSTee看涨期权看跌期权10图3.82）Vega随标的价格的变化：当2(2)rTSKe时，Vega取得最大值2rTKeT。在行权价附近，波动率对期权价值的影响最大。图3.93）Vega随到期时间的变化：Vega随期权到期变小。期权越接近到期，波动率对期权价值的影响越小。11图3.10第四节Theta（西塔，）4.1定义Theta衡量的是到期时间变化对权利金的影响，即到期时间过去一个单位，权利金应该产生的变化。新权利金=原权利金+Theta流逝的时间4.2公式从理论上，Theta的定义为期权价值对于到期时间变化的一阶偏导。-TTheta期权价值根据Black-Sholes理论进行定价，则案例3.7有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Theta为-0.1240。在其他条件不变的情况下，如果离行权日只有5个半月了，即流逝了半个月的时间（0.0833），则期权理论价格将变化为0.0730.1240(0.0833)0.0730.0100.063元12'12()()2rTSNdThetarKeNdT看涨期权（3.6）'12()()2rTSNdThetarKeNdT看跌期权（3.7）其中，21ln()(2)SKrTdT，22ln()(-2)SKrTdT，()N为标准正态分布的累积密度函数，)('N为标准正态分布的密度函数。4.3性质1）看涨期权的Theta是负的；看跌期权的Theta一般为负的，但在价外严重的情况下可能为正。因此通常情况下，越接近到期的期权Theta值越小。案例3.8有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。则221ln()(2)ln(1.81.9)(0.0350.202)0.50.18790.200.5SKrTdT222ln()(-2)ln(1.81.9)(0.035-0.202)0.50.32930.200.5SKrTdT'0.0350.51.8(0.1879)0.20.0351.9(0.3293)20.50.12