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-1-第2课时三角函数线及其应用学习目标核心素养1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.(难点)通过三角函数线的学习,培养学生数学抽象,直观想象和数学建模素养.1.有向线段(1)定义:带有方向的线段.(2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP.2.三角函数线(1)作图:①α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,垂足为M.②过A(1,0)作x轴的垂线,交α的终边或其反向延长线于点T.(2)图示:(3)结论:有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.思考:当角的终边落在坐标轴上时,正弦线、余弦线、正切线变得怎样?提示:当角的终边落在x轴上时,正弦线、正切线分别变成了一个点;终边落在y轴上时,余弦线变成了一个点,正切线不存在.1.角π7和角8π7有相同的()A.正弦线B.余弦线C.正切线D.不能确定-2-C[角π7和角8π7的终边互为反向延长线,所以正切线相同.]2.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线OM,正切线A′T′B.正弦线OM,正切线A′T′C.正弦线MP,正切线ATD.正弦线MP,正切线A′T′C[α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.]3.若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________.1[若角α的余弦线长度为0时,α的终边落在y轴上,正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0,-1),所以正弦线长度为1.]作已知角的三角函数线【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.(1)-π4;(2)17π6;(3)10π3.[解]如图.其中MP为正弦线,OM为余弦线,AT为正切线.三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂-3-线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.2作正切线时,应从A1,0点引x轴的垂线,交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T,即可得到正切线AT.[跟进训练]1.作出-5π8的正弦线、余弦线和正切线.[解]如图:sin-5π8=MP,cos-5π8=OM,tan-5π8=AT.利用三角函数线比较大小【例2】(1)已知cosα>cosβ,那么下列结论成立的是()A.若α、β是第一象限角,则sinα>sinβB.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβC.若α、β是第三象限角,则sinα>sinβD.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ(2)利用三角函数线比较sin2π3和sin4π5,cos2π3和cos4π5,tan2π3和tan4π5的大小.思路点拨:(1)(2)(1)D[由图(1)可知,cosα>cosβ时,sinα<sinβ,故A错误;-4-图(1)由图(2)可知,cosα>cosβ时,tanα<tanβ,故B错误;图(2)由图(3)可知,cosα>cosβ时,sinα<sinβ,C错误;图(3)由图(4)可知,cosα>cosβ时,tanα>tanβ,D正确.]图(4)(2)解:如图,sin2π3=MP,cos2π3=OM,tan2π3=AT,sin4π5=M′P′,cos4π5=OM′,tan4π5=AT′.显然|MP|>|M′P′|,符号皆正,-5-∴sin2π3>sin4π5;|OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos2π3>cos4π5;|AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan2π3<tan4π5.1利用三角函数线比较大小的步骤:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,②注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.[跟进训练]2.已知a=sin2π7,b=cos2π7,c=tan2π7,则()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<cD[由如图的三角函数线知:MP<AT,因为2π7>2π8=π4,所以MP>OM,所以cos2π7<sin2π7<tan2π7,所以b<a<c.]3.设π4<α<π2,试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果π2<α<3π4,上述长度关系又如何?[解]如图所示,当π4<α<π2时,角α的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT,显-6-然在长度上,AT>MP>OM;当π2<α<3π4时,角α的正弦线为M′P′,余弦线为OM′,正切线为AT′,显然在长度上,AT′>M′P′>OM′.利用三角函数线解三角不等式[探究问题]1.利用三角函数线如何解答形如sinα≥a,sinα≤a(|a|≤1)的不等式?提示:对形如sinα≥a,sinα≤a(|a|≤1)的不等式:图①画出如图①所示的单位圆;在y轴上截取OM=a,过点(0,a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′;写出终边在OP和OP′上的角的集合;图中阴影部分即为满足不等式sinα≤a的角α的范围,其余部分即为满足不等式sinα≥a的角α的范围.2.利用三角函数线如何解答形如cosα≥a,cosα≤a(|a|≤1)的不等式?提示:对形如cosα≥a,cosα≤a(|a|≤1)的不等式:图②画出如图②所示的单位圆;在x轴上截取OM=a,过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′,作射线OP和OP′;写出终边在OP和OP′上的角的集合;图中阴影部分即为满足不等式cosα≤a的角α的范围,其余部分即为满足不等式cosα≥a的角α的范围.【例3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.(1)cosα>-22;(2)tanα≤33;(3)|sinα|≤12.-7-思路点拨:[解](1)如图,由余弦线知角α的取值范围是α2kπ-3π4<α<2kπ+3π4,k∈Z.(2)如图,由正切线知角α的取值范围是αkπ-π2<α≤kπ+π6,k∈Z.(3)由|sinα|≤12,得-12≤sinα≤12.如图,由正弦线知角α的取值范围是αkπ-π6≤α≤kπ+π6,k∈Z.1.将本例(1)的不等式改为“cosα<22”,求α的取值范围.[解]如图,由余弦线知角α的取值范围是α2kπ+π4<α<2kπ+7π4,k∈Z.-8-2.将本例(3)的不等式改为“-12≤sinα<32”,求α的取值范围.[解]由三角函数线可知sinπ3=sin2π3=32,sin7π6=sin-π6=-12,且-12≤sinθ<32,故θ的取值集合是2kπ-π6,2kπ+π3∪2kπ+2π3,2kπ+7π6(k∈Z).3.利用本例的方法,求函数y=2sinx-1的定义域.[解]要使函数有意义,只需2sinx-1≥0,即sinx≥12.由正弦线可知定义域为2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z).利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法1首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.3写角的范围时,抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.提醒:在一定范围内先找出符合条件的角,再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.1.本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题-9-(1)三角函数线的画法,见类型1;(2)利用三角函数线比较大小,见类型2;(3)利用三角函数线解简单不等式,见类型3.2.三角函数线是三角函数的几何表示,它们都是有向线段,线段的方向表示三角函数值的正负,与坐标轴同向为正,异向为负,线段的长度是三角函数的绝对值,这是本节重中之重.3.利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sinx≥b,cosx≥a(sinx≤b,cosx≤a),求解关键是寻求恰当的点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tanx≥c,取点(1,c),连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图象可确定相应的范围1.下列判断中错误的是()A.α一定时,单位圆中的正弦线一定B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等C.α和α+π有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B[A正确;B错误,如π6与5π6有相同正弦线;C正确,因为α与π+α的终边互为反向延长线;D正确.]2.如果OM,MP分别是角α=π5的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是()A.MP<OM<0B.MP<0<OMC.MP>OM>0D.OM>MP>0D[角β=π4的余弦线与正弦线相等,结合图象可知角α=π5的余弦线和正弦线满足OM>MP>0.]3.若a=sin4,b=cos4,则a,b的大小关系为________.-10-a<b[因为5π4<4<3π2,画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图),观察可知sin4<cos4,即a<b.]4.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合.(1)sinα≥32;(2)cosα≤-12.[解](1)作直线y=32交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为απ3+2kπ≤α≤23π+2kπ,k∈Z.图①图②(2)作直线x=-12交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为α23π+2kπ≤α≤43π+2kπ,k∈Z.
本文标题:20202021学年高中数学第1章三角函数121第2课时三角函数线及其应用教师用书教案新人教A版必修
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