第一节--空间几何体的结构特征及表面积与体积

第七章立体几何目录基础——在批注中理解透单纯识记无意义，深刻理解提能力考点——在细解中明规律题目千变总有根，梳干理枝究其本课时跟踪检测第一节空间几何体的结构特征及表面积与体积返回基础——在批注中理解透单纯识记无意义，深刻理解提能力返回1．多面体的结构特征返回2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱❶矩形任一边所在的直线圆锥❷直角三角形任一直角边所在的直线圆台❸直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线圆柱：两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形.圆锥：底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形.圆台：上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形.返回3．空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法❹①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.返回圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❺圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的联系：S圆柱侧＝2πrl――――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l―――→r′＝0S圆锥侧＝πrl.返回5.柱、锥、台、球的表面积和体积❻名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V柱体＝Sh―――→S′＝SV台体＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V锥体＝13Sh.返回[熟记常用结论]1．特殊的四棱柱四棱柱――――→底面为平行四边形平行六面体――――→侧棱垂直于底面直平行六面体――→底面为矩形长方体―――→底面边长相等正四棱柱―――――→侧棱与底面边长相等正方体上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．返回2．球的截面的性质(1)球的截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝R2－d2.3．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝a2＋b2＋c22.4．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝a2，外接球半径R＝32a.返回[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．()(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()××√×返回(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．()(6)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(7)锥体的体积等于底面积与高之积．()×√×返回二、选填题1．一个球的表面积为16π，那么这个球的体积为()A.163πB.323πC．16πD．24π解析：设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为43πR3＝323π.B返回2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为22，结合各选项可知选A.A返回3．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是()A．40π2B．64π2C．32π2或64π2D．32π2＋8π或32π2＋32πD解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.返回4.如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．五棱柱三棱柱返回5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47.1∶47返回考点——在细解中明规律题目千变总有根，梳干理枝究其本返回考点一空间几何体的结构特征[基础自学过关]返回[题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体．C返回2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B.1C．2D．3解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故正确命题的个数是1.B返回3．下列命题正确的是()A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析：如图所示，可排除A、B选项．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分．故选C.C返回4．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．②③④返回[名师微点]辨别空间几何体的2种方法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可反例法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定定义法返回考点二空间几何体的表面积[基础自学过关]返回[题组练透]1.在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．4πB．(4＋2)πC．6πD．(5＋2)π解析：∵在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋12×2π×1×12＋12＝(5＋2)π.D返回2．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得13×6×34×22×h＝23，∴h＝1，∴斜高h′＝12＋32＝2，∴S侧＝6×12×2×2＝12.12返回3．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，平面α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2，得OH＝13R.由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，所以R32＋12＝R2，解得R2＝98，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×98＝9π2.9π2返回[名师微点]求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积求不规则几何体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求旋转体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积返回考点三空间几何体的体积[全析考法过关]返回[考法全析]考法(一)直接利用公式求体积[例1](2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．[解析]∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1,2.∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为22，∴V四棱锥A1­BB1D1D＝13Sh＝13×(1×2)×22＝13.13返回考法(二)割补法求体积[例2]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．[解析]如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，则△BHC中BC边的高h＝22.∴S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，∴V多面体＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.23返回考法(三)等体积法求体积[例3]如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.312B.34C.612D.64[解析]易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.A返回[技法点拨]求空间几何体的体积的常用方法公式法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积等体积法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积割补法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解返回[过关训练]1.[公式法]如图，正四棱锥P­ABCD的底面边长为23cm，侧面积为83cm2，则它的体积为________cm3.解析：记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连接PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为83cm2，所