2020版新高考二轮复习理科数学专项小测2420题21题解析

专项小测(二十四)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)已知函数f(x)＝acosxx＋b，曲线y＝f(x)在点π2，fπ2处的切线方程为6x＋πy－2π＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)判断方程f(x)＝32π－1在(0,2π]内的解的个数，并加以证明．解：(1)直线6x＋πy－2π＝0的斜率为－6π，过点π2，－1，f′(x)＝－axsinx＋cosxx2，则f′π2＝－2aπ＝－6π，即a＝3，(2分)又fπ2＝b＝－1，所以f(x)＝3cosxx－1.(4分)(2)方程f(x)＝32π－1在(0,2π]上有3个解．(5分)证明：令g(x)＝f(x)－32π＋1＝3cosxx－32π，则g′(x)＝－3xsinx＋cosxx2.又gπ6＝93π－32π＞0，gπ2＝－32π＜0，所以g(x)在0，π2上至少有一个零点．又g(x)在0，π2上单调递减，故在0，π2上只有一个零点．(7分)当x∈π2，3π2时，cosx＜0，故g(x)＜0，所以函数g(x)在π2，3π2上无零点；(8分)当x∈3π2，2π时，令h(x)＝xsinx＋cosx，h′(x)＝xcosx＞0，所以h(x)在3π2，2π上单调递增，h(2π)＞0，h3π2＜0，所以∃x0∈3π2，2π，使得g(x)在3π2，x0上单调递增，在(x0,2π]上单调递减．又g(2π)＝0，g3π2＜0，所以函数g(x)在3π2，2π上有2个零点．(10分)综上，方程f(x)＝32π－1在(0,2π]上有3个解．(12分)21．(12分)某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k＋1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(2)设ξ为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．①当k＝5，p＝0.1时，求ξ的分布列；②运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．解：(1)对3人进行检验，且检验结果是独立的．设事件A∶3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率P(A)＝C13·0.1·0.92＝0.243.(4分)(2)①当k＝5，p＝0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为1－0.95，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为ξ1565P0.951－0.95(8分)②分组时，每人检验次数的期望如下：Pξ＝1k＝(1－p)k，Pξ＝1k＋1＝1－(1－p)k，所以E(ξ)＝1k·(1－p)k＋1k＋1[1－(1－p)k]＝1－(1－p)k＋1k.不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需1－(1－p)k＋1k＜1，即1－p＞1kk，所以当1－p＞1kk时，用分组的办法能减少检验次数．(12分)