2020年人教A版高中数学必修第一册5.1-任意角及弧度制(解析版)

5.1任意角及弧度制思维导图运用一基础概念理解【例1】（2019·湖南高一期末）下列说法正确的是（）A.小于90的角是锐角B.钝角是第二象限的角C.第二象限的角大于第一象限的角D.若角与角的终边相同，则,kkZ【答案】B【解析】A：负角不是锐角，比如“30”的角，故错误；B：钝角范围是“90180”，是第二象限的角，故正确；C：第二象限角取“91”，第一象限角取“361”，故错误；D：当角与角的终边相同，则2,kkZ.故选：B.【触类旁通】1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系是（）A.𝐵=𝐴∩𝐶B.𝐵∪𝐶=𝐶C.A⊆B∩CD.𝐴=𝐵=𝐶【答案】B【解析】∵A={第一象限角}={𝛼|𝑘⋅360∘𝛼𝑘⋅360∘+90∘,𝑘∈𝑍}；B={锐角}={𝛼|0∘𝛼90∘}；C={小于90°的角}={𝛼|𝛼90∘}．∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B⊂C，且B⊂A，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，由集合间的关系可得𝐵∪𝐶=𝐶．故选B．运用二终边相同的角【例2】(1)如果𝛼=−21∘，那么与终边相同的角可以表示为A.{𝛽|𝛽=𝑘⋅360∘+21∘,𝑘∈𝑍}B.{𝛽|𝛽=𝑘⋅360∘−21∘,𝑘∈𝑍}C.{𝛽|𝛽=𝑘⋅180∘+21∘,𝑘∈𝑍}D.{𝛽|𝛽=𝑘⋅180∘−21∘,𝑘∈𝑍}(2)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}躬行实践(3)（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【答案】(1)B(2)D(3)D【解析】根据终边相同的角相差360∘的整数倍，故与角𝛼有相同终边的角为𝑘⋅360∘+𝛼(𝑘∈𝑍)，所以𝛼=−21∘，表示为𝑘⋅360∘−21∘(𝑘∈𝑍)，故选B.(2)直线y＝﹣x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝﹣x上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y＝﹣x上的角的集合S＝{α|α＝135°+k•360°，k∈Z}∪{α|α＝315°+k•360°，k∈Z}＝{α|α＝135°+2k•180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+（2k+1）•180°，k∈Z}＝{α|α＝135°+k•180°，k∈Z}．或者表示为S＝{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．故选：D．(3)α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【触类旁通】1．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________.【答案】240°－120°【解析】根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与﹣1560°终边相同的角可表示为：{α|α＝k•360°﹣1560°，k∈Z}．则当k＝4时，α＝4×360°﹣1560°＝﹣120°，此时为最大的负角．当k＝5时，α＝5×360°﹣1560°＝240°，此时为最小的正角．故答案为：240°，﹣120°2.（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°B．﹣398°，142°C．﹣398°，38°D．142°，1042°【答案】A【解析】由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．3.已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【答案】见解析【解析】如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k•360°，k∈Z；210°+k•360°，k∈Z；30°+k•360°，k∈Z．运用三角所在象限【例3】（1）（2019·湖南高一期末）179是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角（2）（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【答案】（1）B（2）C【解析】（1）1791801，所以179表示第二象限角，故选B．（2）∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．【触类旁通】1.（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则的终边所在位置不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z．则30°+k•120°＜＜60°+k•120°，k∈Z．当k＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；23当k＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C．2.（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则是（）A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】C【解析】∵α是第三象限角，∴180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，∴﹣135°﹣k•180°＜﹣＜﹣90°﹣k•180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C．运用四弧度制的理解【例4】（2019春•历城区校级月考）下列命题中，真命题的是()A．1弧度是一度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是一度的弧与一度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小【答案】D【解析】根据弧度的定义知：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．故选：D．2【触类旁通】1.（2019春•静安区期末）下列选项中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，180度一定等于弧度D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关【答案】D【解析】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，判断正确；一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，满足两种角的度量定义，正确；根据弧度的定义，180度一定等于π弧度，满足两种角的度量关系，正确；不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关，不正确；故选：D．运用五角度与弧度的转化【例5-1】（2019春•微山县校级月考）将下列弧度转化为角度：角度化为弧度：（1）12；（2）136；（3）512．（4）36rad；（5）105rad．【答案】：15°，390°，﹣75°，．【解析】∵π＝180°，∴；；；36°＝36×；．【例5-2】（2019·榆林市第二中学高一期末）下列各角与3终边相同的角是（）A．43B．53πC．43D．53【答案】D【解析】与3终边相同的角可表示为23kkZ，当1k时，53136012136012故选D【触类旁通】1．1920°的角化为弧度数为()A.163B.323C.163πD.323π【思路总结】1.终边对称的角的表示（1）若与的终边关于轴对称，则.（2）若与的终边关于轴对称，则.（3）若与的终边关于原点对称，则.（4）若与的终边在一条直线上，则.2.终边相同的角的表示，前后单位要一致.3.象限角的表示（1）第一象限角的集合：.（2）第二象限角的集合：.（1）第三象限角的集合：.（1）第四象限角的集合：.4.轴线角的表示（1）终边在轴的非负半轴上的角的集合为：.（2）终边在轴的非正半轴上的角的集合为：.（3）终边在轴上的角的集合为：.（4）终边在轴的非负半轴上的角的集合为：.（5）终边在轴的非正半轴上的角的集合为：.（6）终边在轴上的角的集合为：.（7）终边在坐标轴上的角的集合为：.【答案】D【解析】∵1°＝π180rad，∴1920°＝1920×π180rad＝323πrad.2．（2019·上海市三林中学高一月考）与角136终边相同的最小正角大小是_________【答案】6【解析】所有与角136终边相同的角是=132,6kkZ，令1k即得到最小的正角，即6。运用六扇形的计算【例6】已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝π3，R＝10cm，l＝π3×10＝10π3(cm)，S＝S扇－S△＝12×10π3×10－34×102＝503π－253cm2.(2)设扇形的弧长为l，则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0R10)，∴扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.∴当R＝5cm时，S有最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝lR＝2rad.因此，当α＝2rad时，这个扇形的面积最大．【触类旁通】1.（2019春•杨浦区校级期中）已知半径为r的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为．【思路总结】设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积【答案】π﹣2【解析】设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r+rθ．依题意得2r+rθ＝πr，解得θ＝π﹣2．故答案为：π﹣2．2.（2019春•金水区校级期中）已知扇形AOB周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角为．【答案】2【解析】设扇形AOB的半径为r，∵2r+αr＝3，∴α＝．∴S扇形＝＝וr2＝≤＝．当且仅当r＝时取等号，α＝＝2．当扇形面积最大时，扇形的圆心角α＝2．故答案为：2．运用七实际运用【例7】（2018春•船营区校级月考）时钟走过了40分钟，时针所转过的弧度数是．【答案】【解析】时针每分钟走0.5°，分针经过40分钟，那么它转过的角度是0.5°×40＝20°．所以，经过40分钟，时针转过的角的弧度数．【触类旁通】1（2019春•鄱阳县校级期中）若分针走过2小时30分，则分针转过的角是．【答案】﹣900°【解析】分针走过2小时30分，是2.5周角，角度数是2.5×360°＝900°；又分针是顺时针旋转，转过的角是﹣900°．故答案为：﹣900°．【点睛】本题考查了角度制的推广与应用问题，是基础题．2.（2019秋•启东市校级月考）将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．【答案】﹣【解析】分针拨快30min，是按照顺时针方向，得到的角是一负角，把钟