同济大学马洪宽老师博弈论复习资料

博弈是一些个体，面对一定的环境，在一定的规章制度下，同时或先后，一次或多次在其允许的策略集中选择其行为并加以实施，最终获得一定结果的过程博弈论从衡量利弊得失的角度出发，分析形势得出相应的对策，在决策的过程中考虑到参与的其他人的行为会相互影响的决策者，需要博弈论，决策中不考虑他人的行为的决策者不需要博弈论。博弈论通常记为G或Γ，局中人的集合通常为N，为局中人n，局中人的策略集记为S，则某一策略记为αi，局中人i的策略组合为(αi,α-i)，其中α-i表示局中人i以外所有人的策略组合。局中人的收益U是α的函数，则博弈也记为G(N,S,U)，若考虑信息则是G(N,S,U,I)上策均衡：每个人都有上策，博弈时必取上策，形成的均衡为上策均衡。囚徒困境：对每一行在第二个分量中划线，即甲策略不变时乙的策略。反之亦然乙招不招甲招-5，-50，-8不招-8，0-1，-1两人都有上策均衡，亦为纳什均衡智猪博弈：有一开关，大猪小猪都按，则大猪得7单位，小猪得3单位；大猪按，小猪不按，大猪得6单位，小猪得4单位；小猪按，大猪不按，大猪得9单位，小猪得1单位；但是按一下会消耗2单位（此处隐含条件，两者都不按则无收益与支出）。小按不按大按5，14，4不按9，-10，0此时小猪有上策[不按]，但是大猪无上策——小猪选择不同，大猪选择也相应不同。此时（大猪，小猪）的纳什均衡为（按，不按）此情境可推广至投资机构与散户的投资行为。机构研究市场动向，之后散户跟风。娱乐博弈：甲爱象棋，乙爱围棋，甲乙一起下象棋，甲得5，乙得2；甲乙一起下围棋，甲得2，乙得5；但是两人选择不同则游戏无法开始。乙象围甲象5，20，0围0，02，5两人均无上策，（甲，乙）的纳什均衡为（象，象）或（围，围）便士博弈：甲乙同时放一枚硬币，如同面则乙给甲1块钱，如异面则甲给乙1块钱乙正反甲正1，-1-1，1反-1，11，-1此题不存在纯策略静态博弈的纳什均衡，但有混策略均衡。混策略的原则是做出某种概率，使对方的收益无差异。设甲取正概率为p，可写出乙的期望收益，欲使乙无差异，则p=0.5；同样，对乙的选择亦如此。定理：任意有限博弈必定存在一纳什均衡。古诺模型（产量决策模型）：甲乙两厂商生产一产品，价格函数为P=8-Q，单位成本C=2，问甲乙应如何定产量？解：设甲产q1，乙产q2，则Q=q1+q2π1=Pq1-Cq1=(8-q1-q2)q1-2q1=-q12+(6-q2)q1∂𝜋1∂𝑞1=−2q1−q2+6同理可得：∂𝜋2∂𝑞2=−2q2−q1+6令两偏导数均为零，解得q1=q2=2则π1=π2=4卡特尔：甲乙约定“各产一半，利润均分”π=(8-Q)Q-2Q，求导得Q=3时π最大，即各产1.5，各得4.5但根据π1=-q12+(6-q2)q1可算出在q2=1.5时甲利润最大的产量并不是1.5，而是2.25，此时甲可得利润5.0625，因此合作不牢固下策：无论对方如何行动，甲在α和β两个策略中都有α优于β，则称β为下策；与上策不同，上策是优于所有其他策略的策略，而下策是只要劣于任意一个其他策略的策略博弈树：描述动态博弈的工具，注意两个节点是否因信息未知而实际为一个借钱还钱博弈：甲向乙借钱，乙可以选择借或不借，如果不借则两者均无收益支出，选择借，则甲可以选择还或者不还，选择还则甲乙收益均为1，选择不还则乙可选择诉讼还是不诉讼，诉讼收益为甲1.5，乙0.5，不诉讼则甲4，乙-2。画博弈树，利用递推归纳法斯塔克伯格模型：P=8-Q，单位成本C=2，甲先确定其产量，之后已确定其产量，问乙甲乙借不借还不诉诉0,01,10.5,1.5-2,4两者产量各多少。先看第二阶段，乙的利润函数π2=6q2-q1q2-q22，对q2求偏导，可得q2=(6-q1)/2，之后将此式代入π1，得π1=3q1-q12/2，求导得q1=3，q2=1.5工资的确定：第一阶段，工会定工资，收益U(w,L)，w为工资，L为被雇佣人数。第二阶段，企业雇佣人，利润π=R(L)-wL，R为L个人生产的产值。解：先分析第二阶段，企业雇佣人数为π对L的偏导，求出L，继而进入第一阶段，将L代入U(w,L)，求U对w的偏导，即可求出w。这种方法现实中并非双方默契，而需要双方谈判达成。折现率：明年100元在今年值a元，则折现率δ=a/100。注意：老师上课将δ称为贴现率，这是错误的。讨价还价博弈：甲乙分钱，甲先提出一种分法，乙可以选择同意或拒绝，如拒绝则乙提一种分法，甲同意或拒绝，如拒绝则甲提一种分法，乙必须同意。如果规则仅仅如此，则结果必然是甲全拿，乙无收获，即(1,0)。理由如下：如果博弈可以进入第三阶段，则甲必然将钱全部据为既有，则在第二阶段无论乙如何划分，甲都必须拒绝，则在第一阶段甲亦会做出甲得1，乙得0的划分，第一阶段乙无论同意或拒绝都改变不了最终结果。规则修改：每一阶段的折现率为δ(0δ1)，即假设博弈进入第二阶段，则总钱数将不为1而是δ。解：博弈树如下：之所以将第二阶段与第三阶段的分钱方案写为δq2与δ2q3，是因为这样会简化计算，无实质性差异。第三阶段的分法是(δ2q3,δ2(1-q3))，而如果在第二阶段有δq2=δ2q3，则在第二阶段甲会选择同意而不会进入第三阶段（注意，如果甲此时选择进入下一阶段则甲收益不少，但乙收益会减少，而我们假设每个理性人只考虑自己利益最大化，而不理会其他人利益，故在保证自己利益的情况下不会去损害他人，当然零和博弈保护自己即是损害他人，如每一阶段独立来看都是广义零和博弈）。同样，如果在第一阶段有1-q1=δ(1-q2)，则乙会直接同意而不进入第二阶段。取临界等式，可得q1=1-δ+δ2q3。即如果在第三阶段有一分法(δ2q3,δ2(1-q3))，则相应的在第一阶段必定有双方同意分法(1-δ+δ2q3,δ-δ2q3)。显然，在第三阶段甲会独吞剩余钱数，即q3=1，甲得到δ2，则第一阶段的分法将会是(1-δ+δ2,δ-δ2)，即如果折现率为1或0，则甲都会独吞，但折现率在0和1之间，甲不会独吞。甲乙永远不会相等，差距最小时为δ=0.5，说明该规则先下手为强。规则改变2：假设可进行无限多次讨价还价，即如有一方不同意，则永远按上述规则讨论下去，直到双方同意为止，同样现值也会以每回合δ的比率折减。博弈树如图无法使用递推归纳，因不存在最后一个阶段。可将决策树砍掉前两个阶段并与原决策树进行比较，由于有无限多过程，则两决策树等同，即第三阶段与第一阶段没有任何差别，是全等的，因此在第三阶段可以达到的协议在第一阶段就也可以达成。这样就可以将无限阶段动态博弈改为三阶段动态博弈。如上题结论，如果在第三阶段甲可以得到1-δ+δ2q，则第一阶段甲必定可以得到q，由于第一和第三阶段完全等同，则q=1-δ+δ2q，解得q=1/(1+δ)，即第一阶段分法为(1/(1+δ),δ/(1+δ))。此时结论便不相同，如果δ为1，即不发生现值折减，则两人会平分；如果δ为0，则甲独吞——因即使乙不同意乙也什么都得不到，这可以解释现实情况，因现实中多为终点不确定的博弈——可等同于无限次博弈。关税与国际市场模型：太复杂，略过银行挤兑模型：银行有一200万元项目，一年后本利和220万，甲乙各有100万，如甲乙都将100万存入，一年后可得110万，如中途有人提前取款，银行只得卖掉项目得160万，先到者得100万，后到者60万，如两人同时提前取，各得80万。分析：第一阶段，甲乙是否存款；第二阶段，甲乙提前还是到期取款。解：先分析第二阶段，见下表：乙提前到期甲提前80，80100，60到期60，100100，100则有两个纳什均衡（提前，提前）和（到期，到期），再分析第一阶段乙存不存甲存进入第二阶段100，100不存100，100100，100综合来看，在（存，存）策略中会有两种可能的收益情况：乙存不存甲存110,110或80,80100，100不存100，100100，100但此时双方都会预见到只要自己不主动提前支取，另一方不会提前支取的，同时自己没必要提前支取，因到期支取获得的收益要大，因此博弈的稳定结果为（存，存）以及（到期，到期）重复博弈：一次博弈，策略集中有P个元素，则重复T次，策略集中有PT个元素。连锁店悖论：甲在某地先开连锁店，之后乙也想在此地开连锁店，甲的策略集（默许，斗争），乙的策略集（进入，不进入）乙进入不进入甲默许50，40100，0斗争0，-10100，0纳什均衡应当为（默许，进入）修改规则：将此博弈重复20次（可理解为有20个地区遇到相同情况），问结果如何？完美信息动态博弈，最后一阶段必取均衡。假设有n个阶段（n有限），在第n阶段时前n-1个阶段的收益已定，在第n阶段收益多少决定了总博弈收益多少。同理，n-1也必取均衡……因此所有阶段都要取均衡。这样甲乙的收益为(2000,1600)。但这样分析可能与现实产生矛盾。甲可以在前5回合都选斗争，之后乙亏损严重退出竞争，之后15回合乙都不进入，此时甲收益15001000。说明不能简单认为每回合都取均衡，可以设计策略。定价博弈：甲乙对一个商品进行定价，支付矩阵如下表乙高中低甲高5，50，60，2中6，03，30，2低2，02，01，1在一次博弈中均衡为（中，中）或（低，低），但在重复博弈中可设计策略。现将此博弈重复两次，策略可如此设计：第一阶段甲取高，如乙也取高，则第二阶段甲取中；如第一阶段乙取中，则第二阶段甲取低。此策略对乙也是相同。如果乙选择合作，则收益为5+3=8，如乙不合作，则收益至多为6+1=7，则乙会选择合作。对甲亦如此最后一阶段必然需要取均衡，因最后一阶段没有约束手段，不可能达成合作。一次性博弈中如局中人收益和最大者对应的策略组合未实现，则在重复博弈中产生合作的可能，即产生新的均衡（提高社会总收益）的可能。产生的方法：先试图合作，如对方合作则继续合作；如对方不合作，则从此一直不合作，称为触发策略。触发策略产生了重复博弈的一均衡。市场选择甲乙各有A、B连个投资机会，如两人均A，各得3；一A一B，选A得1，选B得4；如两人均B，各得0。问重复2、3、4次会如何？一次博弈矩阵：乙AB甲A3，31，4B4，10，0重复2次：如两次（A，B），则甲2乙8；两次（B，A），则甲8乙2；一次（A，B）一次（B，A），则甲乙各5。则可采用轮换策略，以示公平。但此时（A，A）取不到，因没有惩罚方式，不会合作。重复3次：可设计策略。第一阶段甲先取A，如乙也取A，则第二阶段甲取A，第三阶段甲取B；如第一阶段乙取B，则甲在二、三阶段均取B。此时乙如果合作，收益为3+4+1=8；如不合作，收益为4+1+1=6。因此乙会合作。用后两个阶段的轮换策略保证第一阶段的合作。重复4次：设计策略类似，即甲在第一阶段先取A，如乙也取A，则与重复3次的情况相同；如乙取B，则甲在后续所有阶段均取B。此时乙如果一直合作，收益为11；如乙第二阶段不合作，收益为9；一直不合作，收益为7。价格战无限次重复甲乙两厂商，各有高、低两种价格可选择，两人均高，各得4；一高一低，高者0，低者5；两人均低，各得1。无限次重复，贴现率δ。一次博弈的收益矩阵：乙高低甲高4，40，5低5，01，1则在一次博弈中有均衡（低，低），收益之和最大值（高，高）未实现。触发策略：先试图取高，如对方取高，则继续取高；如对方取低，则此后一直取低。如果合作，第一次得4，现值4；第二次得4，现值4δ；第三次得4，现值4δ2。无限次后现值为：lim𝑛→∞4(1−𝛿𝑛)1−𝛿=41−𝛿如果不合作，第一次得5，以后都得1。无限次后现值为：5+lim𝑛→∞𝛿(1−𝛿𝑛)1−𝛿=5+𝛿1−𝛿令合作不合作，得δ1/4，因此当δ1/4时合作，否则不合作。古诺模型无限次博弈低水平合作：先产q*，如对方也q*，则会继续合作，如不产q*，则以后都产2。高水平合作：需加大惩罚力度，实现高水平合作——各产1.5。第一阶段先产1.5，如对方不合作，则在第二阶段选择一产量惩罚对方，迫使对方合作。并且如果对方想和好则产与己方相同的产量，否则