第3章 含时间因素的货币等值计算

第三章含时间因素的货币等值计算2019/9/4工业工程教研室赵晶英2本章主要内容•3.1货币的时间价值•3.2利息公式•3.3等值计算实例•3.4常用的还本付息方式•3.5电子表格的运用2019/9/4工业工程教研室赵晶英3通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，所以在经济分析时就主要着眼于方案在整个寿命期内的货币收入和支出的情况。能不能把方案寿命期内不同时期发生的现金流量加总(代数和)来代表方案的经济效果呢?3.1货币的时间价值2019/9/4工业工程教研室赵晶英4例3-1有一个总公司面临两个投资方案A，B，寿命期都是4年，初始投资也相同，均为10000元。实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表3-l。表3-1投资方案的现金流（单位：元）3.1货币的时间价值2019/9/4工业工程教研室赵晶英5例3-2另有两个方案C和D，其他条件相同，仅现金流量不同。可用图形象地表示为图3-1。6000300030003000123456年末（+）（-）06000300030003000123456年末（+）（-）0方案C3000300030003000123456年末（+）（-）030003000300030003000123456年末（+）（-）03000图3-1方案C与方案D的现金流量图（单位：元）方案D3.1货币的时间价值2019/9/4工业工程教研室赵晶英6货币时间价值的存在是基于两个方面的原因：一是以货币表示的资源可以成为资本，存在投资的机会，从而产生对资本投入要素的回报；另一方面，消费者都存在一种潜在的期望，要求现在消费的节省以换回日后更多的消费。考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。3.1货币的时间价值2019/9/4工业工程教研室赵晶英73.2利息公式(一)利息的种类利息分为单利（simpleinterest）及复利(compoundinterest)两种。2019/9/4工业工程教研室赵晶英81.单利：每期均按原始本金计息。I=PniF=P（1+ni）其中，P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表计息期末的本利和。3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英92.复利：将这期利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息。其中，P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表计息期末的本利和。(1)nFPi(1)(1)1nnIPiPPi3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英10例3-3复利的威力1626年荷兰东印度公司花了24美元从印第安人手中买下了曼哈顿岛。而到2000年1月1日，曼哈顿岛的价值已经达到了约2.5万亿美元。这笔交易无疑很合算。但是，如果改变一下思路，东印度公司也许并没有占到便宜。如果当时的印第安人拿着这24美元去投资，分别按照8%的单利和复利利率计算，结果如下单利（美元）复利（万亿美元）到2000年，这24美元复利计息将变成约76万亿美元，几乎是其2.5万亿美元价值的30倍。而按照单利计算这24美元仅变成742美元。24(18%374)74237424(18%)76F3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英11(二)等值的含义货币等值(equivalence)是考虑了货币的时间价值的等值。货币的等值包括三个因素：（1）金额（2）金额发生的时间（3）利率3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英12(三)复利计算公式niPF1F=P（F/P，i，n）1.一次支付复利公式0123Pn-1nF图3-4一次支付复利现金流量图附录A1P250-2513.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英132.一次支付现值公式niFP11叫作一次支付现值系数，并用（P/F，i，n）代表，可写成：ni11P=F（P/F，i，n）附录A2P252-2533.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英143.等额支付系列复利公式n0123n-1FAAAAA图3-5一次支付复利现金流量图iiAFn11F=A（F/A，i，n）附录A3P254-2553.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英154.等额支付系列积累基金公式叫作等额支付系列积累基金系数，并用（A/F，i，n）表示，可写成：A=F（A/F，i，n）11niiFA11nii附录A4P256-2573.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英165.等额支付系列资金恢复公式A0Pn123n-1AAAA图3-6等额支付系列4A111111nnnniiiPiiiPAA=P（A/P，i，n）附录A5P258-2593.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英176.等额支付系列现值公式叫作等额支付系列现值系数，并用（P/A，i，n）表示，可写成：P=A（P/A，i，n）nniiiAP111nniii111附录A6P260-2613.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英187.均匀梯度系列公式等额支付的年末支付21AAA1A：等额的年末支付，是已知的；2A：通过等额支付系列积累基金公式求得niFAiniGA,,/12或niGAGA,,/2附录A7P262-2633.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英19例3-2假定某人第一年末把1000元存入银行，以后9年每年递增存款200元。如年利率为8%，若这笔存款折算成10年的年末等额支付系列，相当于每年存入多少？解（元）17448713.32001000,,/1niGAGAA10%,8,/GA每年应存入1744元。3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英208.运用利息公式应注意的问题（1）为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初。（2）方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末。（3）本年的年末即是下一年的年初。（4）P是在当前年度开始时发生。3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英21（5）F是在当前以后的第n年年末发生。（6）A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生。（7）均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英22(五)名义利率和有效利率例如每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%，3%是实际计息用的利率，也是资金在计息期所发生的实际利率，称为有效利率。有效利率都是指的是计息期的利率，当计息期为一年，此时的有效利率称为年有效利率。当计息期短于一年时，每一计息期的有效利率乘上一年中的计息期数所得到的年利率，如上例为3%×2=6%，6%就称为年名义利率。3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英231.离散式复利按期（年、季、月和日）计息的方法称为离散式复利(discrectcompounding)。一年中计算复利的次数越频繁，则年有效利率越比名义利率高。如果名义利率为r，一年中计算利息n次，每次计息的利率为则年有效利率为i（年有效利率）=nr111nnnrPPnrP3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英24例3-3假定某人把1000元进行投资，时间为10年，利息按年利率8%，每季度计息一次计算，求10年末的将来值。解由题意可知，每年计息4次，10年的计息期为4×10=40次，每一计息期的有效利率为8%÷4=2%，根据式（2-1）可求得10年末的将来值：40%,2,/PF元2208.208021000F其名义利率为8%，每年的计息期n=4，年有效利率%2432.81408.014i3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英252.连续式复利按瞬时计息的方式称为连续复利(continuouscompounding)。在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为lim11[(1)]1nnrrnrrinn这就是说，如果复利是连续地计算，则i（年有效利率）=1re式中，e为自然对数的底，其数值为2.71828。3.2利息公式2019/9/4工业工程教研室赵晶英26加息后一年定期存款决策问题Y-存款额；x-从决策时间算的已存款天数；r1-加息前的定期利率；r2-加息后的定期利率；r3-加息前的活期利率利息损失13()365365xxYrr21365365()365365xxYrr2123365rrxrr=2019/9/4工业工程教研室赵晶英273.3等值计算实例(一)计息期为一年的等值计算计息期为一年时，有效利率与名义利率相同，利用7个复利计算公式可以直接进行等值计算。2019/9/4工业工程教研室赵晶英28例3-6当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？解从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间。从6%的表上查到1.689，从7%的表上查到1.838。用直线内插法可得niPFPF,,/9,,/300525iPF750.13005259,,/iPF%41.6%1838.1689.1750.1689.1%6i计算表明，当利率为6.41%时，现在的300元等值于第9年年末的525元。3.3等值计算实例2019/9/4工业工程教研室赵晶英29例3-7当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的1000000元等值？解A/F，8%，6A=F（A/F，i，n）=1000000（0.1363）=136300（元/年）计算表明，当利率为8%时，从现在起连续6年136300元的年末等额支付与第6年年末的1000000元等值。3.3等值计算实例2019/9/4工业工程教研室赵晶英30例3-8当利率为10%时，从现在起连续5年的年末等额支付为600元，问与其等值的第0年的现值为多大？解P/A，10%，5P=A（P/A，i，n）=600（3.7908）=2774.48（元）计算表明，当利率为10%时，从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274.48元是等值的。3.3等值计算实例2019/9/4工业工程教研室赵晶英31(二)计息期短于一年的等值计算1.计息期和支付期相同例3-9年利率12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年末100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？解每计息期的利率（每半年一期）期6%2%12in=（3年）×（每年2期）=6期P/A，6%，6P=A（P/A，i，n）=100（4.9173）=491.73（元）计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的491.73元的现值等值。3.3等值计算实例2019/9/4工业工程教研室赵晶英32例3-10求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后2年中分24次偿还。每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。解99.80=2000（A/P，i，24）（A/P，i，24）=查附表五，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月，所以月有效利率为1.5%。名义利率r=（每月1.5%）×（12个月）=每年18%年有效利率0499.0200099.80%56.1911218.011112nnri3.3等值计算实例2019/9/4工业工程教研室赵晶英332.计息期短于支付期例3-11按年利率12%，每季度计息一次计算