第3章连续时间信号的处理

信号分析与处理1■第3章连续时间信号处理第三章连续时间信号处理3.1线性时不变连续系统的时域数学模型3.1.1微分方程的建立3.1.2微分方程的求解3.2计算零状态响应的卷积积分法3.2.1零输入响应与零状态响应3.2.2冲激响应3.2.3用卷积积分计算零状态响应3.3系统函数3.3.1系统函数的定义3.3.2系统的三种描述方式3.3.3用系统函数计算系统的零状态响应3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性3.4信号的频域处理信号分析与处理2■第3章连续时间信号处理3.4信号的频域处理3.4.1系统的频率响应3.4.2信号的无失真传输条件3.4.3理想低通滤波器3.4.4实际模拟滤波器信号分析与处理3■第3章连续时间信号处理信号处理方法：时域、复频域、频域。线性时不变系统的响应＝零输入响应＋零状态响应线性时不变系统分析的一个重要思想：将输入信号表示为某个基本信号的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应已知，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。输入为零，仅由初始状态产生的响应初始状态为零，仅由输入信号产生的响应信号分析与处理4■第3章连续时间信号处理例如，若已知系统对基本信号输入时的零状态响应为，又已知输入可以表示为)(0tx)(0ty)(tx)()()()(303202101ttxattxattxatx则输入为时的零状态响应为)(tx)()()()(303202101ttyattyattyaty时域：单位冲激信号就是这样一种基本信号，任一信号都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性组合。→卷积积分频域：信号分解为的线性组合。→频率响应复频域：信号分解为的线性组合。→系统函数stetje信号分析与处理5■第3章连续时间信号处理3.1线性时不变连续系统的时域数学模型——微分方程3.1.1微分方程的建立＊基尔霍夫定律（KCL、KVL）＊元件的电压电流约束关系（VCR）依据：()etRLC+_+_+_()Rut()Lut()Cut()it例：图示RLC串联电路中，e(t)为激励信号，输出响应为回路中的电流i(t)。试求该电路中响应与激励的数学关系。信号分析与处理6■第3章连续时间信号处理()etRLC+_+_+_()Rut()Lut()Cut()it解：根据KVL，得RLCutututet由元件VCR，有1RLtCutRitditutLdtutidC1tditRitLidetdtC221ditditdetLRitdtdtCdt二阶线性常系数微分方程，对应于一个二阶系统信号分析与处理7■第3章连续时间信号处理1110111101nnnnnmmmmmmdddytaytaytaytdtdtdtdddbxtbxtbxtbxtdtdtdt对于一个n阶系统，设激励信号为x(t)，响应为y(t)，可用一个n阶常系数线性微分方程来描述。LTI系统的时域数学模型：LTI系统x(t)y(t)式中，an-1,…,a0和bm,…,b0均为常数，n≥m。信号分析与处理8■第3章连续时间信号处理3.1.2微分方程的求解1、时域经典解法hpytytyt齐次解为齐次微分方程的解，其函数形式由微分方程的特征根决定。齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应；特解的函数形式由激励信号决定，称为系统的强迫响应。)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatymmmmnnn全解：齐次解0)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn特解信号分析与处理9■第3章连续时间信号处理例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为2232tdytdytytetdtdt000yy试求系统的响应。解：特征方程为2320其特征根λ1＝－1，λ2＝－2。该方程的齐次解为212tthytCeCetxte01ttpytCeCte激励，且a＝－1与特征根λ1相同，故该方程的特解为将特解代入微分方程，比较方程两边系数可得C0=0，C1=1。所以特解tpytte因此方程的完全解为212ttthpytytytCeCete信号分析与处理10■第3章连续时间信号处理1200yCC120210yCC2tttyteetet代入初始条件解得C1=－1，C2=1。从而系统的响应为2、应用拉普拉斯变换法解微分方程描述n阶系统的微分方程的一般形式为nimjjjiitxbtya00)()()()(系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。信号分析与处理11■第3章连续时间信号处理思路：用拉普拉斯变换微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYstyniniipmjjjppiiiisXsbysasYsa00100)(1)(][)]0([)(][s域的代数方程t域的微分方程nimjjjiitxbtya00)()()()(11()00000[(0)]()()nimippjijipjnniiiiiiasybsYsXsasas零输入响应零状态响应y(t)若在t=0时接入系统，则)()()(sXstxjj)(tx信号分析与处理12■第3章连续时间信号处理例.某LTI系统由微分方程描述22()()32()(),()2()dytdytytxtxttdtdt(0)3,y(0)5y求响应()yt解：对方程进行单边拉氏变换：22()(0)(0)3[()(0)]2()sYssyysYsyYss2223(3)52()3232(32)零输入响应零状态响应sYssssssss代入(0)3,y(0)5y可得:信号分析与处理13■第3章连续时间信号处理其中，第一项为强迫响应，其它为自然响应。222342342()32(32)(1)(2)sssYsssssssss11312sss2()(13)()ttyteet信号分析与处理14■第3章连续时间信号处理3.2计算零状态响应的卷积方法3.2.1零输入响应和零状态响应zizsytytyt零输入响应完全响应：零状态响应零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态()0jy所引起的响应。由于激励为零，故有零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应。在t=0-时刻激励尚未接入，故应有()()()000zizijjjyyy()00jzsy信号分析与处理15■第3章连续时间信号处理•零输入响应中，初始状态是指系统没加外部激励时系统的固有状态，反映的是系统以往的历史信息。'(1)'(1)(0),(0),(0)(0),(0),(0)nnyyyyyy区别：•零状态响应的求解有经典法和卷积法。信号分析与处理16■第3章连续时间信号处理2256dytdytytxtdtdt6xtt010y00y22560dytdytytdtdt25602312ttziytCeCe00010ziziyyy0000ziziyyy231010ttziyteet例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。由特征方程有λ1=-2，λ2=-3。则齐次解代入初始条件解得C1=10，C2=－10。于是零输入响应为解：（1）求零输入响应yzi(t)当激励为零时，满足齐次方程信号分析与处理17■第3章连续时间信号处理6xtt1pyt2312ttCeCe23121ttzsytCeCet000zszsyy000zszsyy23321ttzsyteet23781ttzizsytytyteet（2）求零状态响应yzs(t)则方程的特解由于齐次解为则由于激励为阶跃函数，在t=0时不会使系统发生突变，因此，解得C1=－3，C2=2。于是零状态响应为（3）全响应由于激励信号分析与处理18■第3章连续时间信号处理1.定义：系统在单位冲激信号激励下的零状态响应，简称冲激响应，以h(t)表示.2.求解：用常系数微分方程描述的系统，其冲激响应满足)()()()()()()()(0'1)1(1)(0'1)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnnmn)()()(1tuekthnitsii当则：式中，待定系数),,2,1(niki采用冲激平衡法确定()(0)0(0,1,,1)及初始状态ihin3.2.2冲激响应信号分析与处理19■第3章连续时间信号处理3.特点：4.冲激响应在系统分析中的作用：1).冲激响应由系统的特征根组成；2).冲激响应的形式与齐次解的形式相同；3).冲激响应中的待定系数由冲激函数平衡法决定；4).冲激响应中可能含有冲激函数。1).用冲激响应求解系统的零状态响应；2).h(t)可以表征系统本身的特性。信号分析与处理20■第3章连续时间信号处理例1：已知某线性时不变系统的动态方程为：()3()2(),0dytytxttdt试求系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应定义，当()()xtt时，y(t)即为h(t),原动态方程为：0),(2)(3)(ttthdttdh特征根s1=-3，且nm,则冲激响应h(t)为：3()()thtAet其中，A为待定系数，将h(t)代入原方程式有：33[()]3()2()ttdAetAettdt信号分析与处理21■第3章连续时间信号处理333()3()3()2()tttAetAetAett)(2)(ttA筛选特性()()(0)()xttxt解得A＝2，则系统的冲激响应为：3()2()thtet信号分析与处理22■第3章连续时间信号处理例2：已知某线性时不变系统的动态方程为：'()6()2()3(),0dytytxtxttdt试求系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应定义，当()()xtt时，y(t)即为h(t),原动态方程为：0),(3)(2)(6)('tttthdttdh特征根s1=-6，且n=m,为保持动态方程左右平衡，冲激响应h(t)必含则冲激响应h(t)为：6()()()thtAetBt其中，A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有：66'[()()]6[()()]2()3()ttdAetBtAetBtttdt)(t信号分析与处理23■第3章连续时间信号处理)(3)(2)()()6(''tttBtBA筛选特性()()(0)()xttxt解得A＝－16，B＝3。系统的冲激响应为：6()3()16()thttet)(3)(2)()(6)(''6tttBtBtAet326BBA总结：冲激响应