手拉手模型

手拉手模型（等线段共端点模型）1、定义：两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形。2、四个固定结论：判断左右：将等腰三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，如图1、图2（1）经典线段相等:左拉左=右拉右找经典全等：包含A．经典线段B.两对等腰（等线段共端点）（2）共顶点旋转模型（证明基本思想“SAS”）核心导角：∠A=∠C则得出∠B=∠D,（八字图模型）核心图形：AB`=AC`,AB=AC∠B`AC=∠BAC以上给出了连续变化的图形，图中两个阴影部分的三角形全等，注意利用三角形全等性质进项转化边或转化角3、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角画出旋转后的三角形4、旋转前后具有以下性质（1）对应线段和对应角分别相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段的夹角都等于旋转角例题讲解：A类1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；解题思路：1：出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；2：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？等边三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？解题思路：1：出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；3：如图，分别以△ABC的边AB、AC同时向外作等腰直角三角形，其中AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，点G为BC中点，点F为BE中点，点H为CD中点。探索GF与GH的位置及数量关系并说明理由。解题思路：1：有两个共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手全等，连接BD，CE，△BAD≌△EAC2：多个中点，联想中位线，得线段关系B类1：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？多个中点，一般考虑什么？出现等边三角形，要想到哪些？旋转60°，要做什么？（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．解题思路：1：旋转60°，出现等边三角形2：两个共顶点的三角形，联想手拉手全等3：求线段长度，利用勾股定理2：在ABC中，2ABBC，90ABC，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转(0180)得到EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H.（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________;有特殊的钝角，需要做什么？求线段长有哪些方法？等腰直角三角形斜边的中线可以得到什么？等腰直角三角形绕顶点旋转，是什么模型？（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MNCF22;（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：.解题思路：1：等腰直角三角形斜边的中线把三角形分成两个相同的等腰直角三角形2：等腰直角三角形绕顶点旋转，联想手拉手模型3：等腰直角三角形中出现中点，联想斜边中点4：利用勾股定理得线段关系3：在Rt△ABC中，90ACB，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．（1）如图1，如果30A，那么DE与CE之间的数量关系是___________．（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果A（090），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．出现中点要想到什么？线段的关系都有哪些？直角+中点，联想什么？旋转60°，要做什么，还要联想什么？线段关系，一般有哪些？解题思路：1：直角三角形斜边的中线是斜边的一半2：30°的直角三角形，得到等边三角形3：线段关系一般有和差倍，勾股定理4：等腰三角形共顶点旋转，联想手拉手模型C类1：已知：在△ABC中，∠BAC=60°．（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP①依题意补全图1；②直接写出PB的长；（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，∠APC=120°，请直接写出PC的长．旋转60°，要做什么，还要联想什么？给出共顶点的三条线段，要做什么？当看到3，4，5，要来你想什么？图1图2图3解题思路：1：共点的三条线段，利用旋转，构造手拉手模型，使之放在同一三角形中2：勾股定理，勾股数3：沿用前两问思路，构造手拉手相似2：在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.解题思路：1：有60°角，联想等边三角形，联想手拉手2：线段和差，联想截长补短3：等腰三角形，构造手拉手模型4：三条线段的关系：和差倍、勾股定理课堂练习A类1：如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由．2：如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．3：已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．B类1：在ABC△中，ABAC，BAC060，将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，150BCE，60ABE，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC，求的值2.如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD.（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明.（图1）（图2）3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以．．不写出计算结果．．．．．．．）．C类1:已知：2,4PAPB，以AB为一边做正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当45APB时，求AB及PD的长（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应的APB的大小考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】（14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形，且．（1）如图，连接、．求证：；（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．ABCDCEFGABCE1BGDGBGDE2ABCD2CEFGCCGBD∥BGBDBDECEFG【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例2】（2014年西城一模）四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及ECGC的值；（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ACDGEFB图图ACDGEFB【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？【例3】（2015年海淀九上期末）如图1，在ABC△中，4BC，以线段AB为边作ABD△，使得ADBD，连接DC，再以DC为边作CDE△，使得DCDE，CDEADB．（1）如图2，当45ABC且90时，用等式表示线段ADDE，之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BFAF，．若90，依题意补全图3，求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）．图2图3备用图EABCDEABCDEABCDEABCD图1【例4】（13年房山一模）（1）如图1，ABC△和CDE△都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BEAD．（2）如图2，在BCD△中，120BCD，分别以BC、CD和BD为边在BCD△外部作等边ABC△、等边CDE△和等边BDF△，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；③60DPEEPCCPA；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBE．图1图2【题型总结】到三个定点的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．手拉手模型一．选择题（共1小题）1．如图．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，下列说法：①△ABE≌△DBC；②AE=DC；③AE与DC的夹角为30度；④△AGB≌△DFB；⑤BH平分∠AH