小学奥数总复习下

（下）小学奥数总复习方程的妙用——用方程解决应用题知识点梳理1、列方程解应用题的方法（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。2、列方程解应用题的步骤：（1）分析题意，弄清已知条件和所求问题；（2）根据分析设定未知数；（3）利用等量关系列出方程；（4）求解方程；（5）将结果代回原题检验，答。典型例题精讲（生活中问题）例1.有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。解析解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。56-2X=3(36-2X)X=13答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。趣味数学例2.同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？解答解:设这名同学给X个同学领碗.X=30答：这名同学给30个同学领碗。5532XXX55611X鸡兔同笼问题例3.鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？解析方法一：鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出鸡的只数了。解：（110+10×4）÷（4+2）=25（只）……鸡25-10=15（只）……兔答：鸡有25只，兔有15只。解答方法二：用方程做解设：有X只兔，有鸡（X+10）只。4X+2(X+10)=1106X=90X=1515+10=25(只)答：鸡有25只，兔有15只。行程问题例4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇，甲车再开3小时到达B城。已知甲车每小时比乙车每小时快20千米。A、B两地相距多少千米？解析解设：乙的速度每小时行驶X千米，甲的速度是（X+20)千米。4X=3（X+20)（60+20）×（4+3）=560千米X=60答：AB两地相距560千米。BA4小时3小时4小时乙甲工程问题例5.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的五分之四，乙只能完成原来的十分之九。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？解析甲的工作效率=1÷10=，合做后的工效=乙的工作效率=1÷15=，合做后的工效=效率和=解设：合做X天，甲单独做（8-X）天。答：两个人合做要用5天。101503109151252541011515075032521)8(101507XX5X例6.设有六位数1abcde,乘3后，变为abcde1,求这个六位数。数论问题解答解设：abcde五位数为X。3（100000+X）=10X+1X=42857答：这个六位数是142857。平面几何例7.如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是37.68厘米，那么三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？（π取3.14）解答解设：直角边长为X和Y,则弧长为：πX÷2+πY÷2=37.68π（X+Y）÷2=37.68X+Y=24（厘米）当X=Y时乘积最大即X=Y=12（厘米）三角形面积=12×12÷2=72（平方厘米）答：三角形面积是72平方厘米。CBA巧求面积——引辅助线法典型例题精讲例1.如图所示，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。ODCBA解析连辅助线BD,S△OBD和S△OBC是等底等高的三角形，面积相等，是平行四边形面积的一半。S阴40÷2÷2=10（平方厘米）ODCBA例2.如图，正方形ABCD和正方形EFGC并排放置，BF和EC交于H点，已知AB=4厘米，EF=6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？解析连接DF,三角形DGH的面积等于三角形DFH的面积，原来阴影部分的面积等于三角形BDF的面积。S大正=6×6=36（平方厘米）S小正=4×4=1636+16=52（平方厘米）S△ABD=16÷2=8（平方厘米）S△EFD=（6-4）×6÷2=6（平方厘米）S△BFG=（4+6）×6÷2=30（平方厘米）S阴=52-8-6-30=8（平方厘米）HGFEDCBA例3.如图，四边形ABCD是长方形，EC=2DE，F是DG的中点，G是BC中点，阴影部分的面积是20平方厘米，则长方形ABCD的面积是_______。解析连接CF,F是中点，S△CFG=S△CFD,S△BDF=S△BFG,G是BC中点，S△CFG=S△BFG=S△CFD=S△BDF,DE:EC=1：2，S△DEF:S△CFE=1：2，S△CFG:S△EFC=3:2,S△CFG=20÷5×3=12（平方厘米）S长=12×4×2=96（平方厘米）GFEDCBA例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？解析连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO设ECO面积为x，DCO面积为y由条件知，EO：OB＝1：2，AO：OD＝2：3则（AEO+ECO）:DCO＝2:3ECO：（DCO+BOD）＝1:2即：x：(y+3)=1：2(x+1)：y=2：3解得：x=9,y=15所以DCEO＝x+y＝24OEDCBA例5.已知E为边长AD的中点,正方形的边长为8厘米，P是CE的中点，求阴影部分的面积。解析连结BE,三角形BCE的面积=正方形面积的一半=8×8÷2=32（平方厘米）S△BPC的=S△BCE÷2=16（平方厘米）S△CDE=8×4÷2=16（平方厘米）S△PDC的面积=S△CDE÷2=8（平方厘米）S阴=S正÷2-16-8=8（平方厘米）例6.如图△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）解析我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正方形ABCE。S半圆=5×5×3.14÷2=39.25（平方厘米）S正=10×10=100（平方厘米）S△ADE=10×15÷2=75（平方厘米）S阴=（39.25+100-75）÷2=32.125（平方厘米）例7.如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘米，BE=2AE，CF=2BF，则四边形ACFE的面积是多少平方厘米？FEDCBA解析S△ABC=54÷2=27连接CE。因为AE:EB=1：2，所以：S△ACE:S△BCE=1：2，S△ACE=27÷3=9(平方厘米),S△BCE=27-9=18(平方厘米)因为BF:FC=1：2，所以SBEF:SCEF=1：2，SCEF=18÷3×2=12(平方厘米)SACFE=9+12=21(平方厘米)FEDCBA课后作业如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的顶点G在BC边上，则长方形的面积为多少平方厘米？GFEDCBA巧求面积——割补法典型例题精讲例1.下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。解析同学们请看图，我们将图形进行割补。把阴影部分割补成四个半圆形和一个正方形，求出阴影部分面积就可以了。2S圆=5×5×3.14×2=157（平方厘米）S正=（5×2）×（5×2）=100（平方厘米）S阴=157+100=257（平方厘米）例2.求图中阴影部分的面积解析在图中分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如右图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，5×5=25。例3.求图中阴影部分的面积解析如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。解：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。例4.在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。解析从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。还可以拼成一个平行四边形或将其分成9个三角形。例5.如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。9厘米5厘米解析因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形，图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（平方厘米）。5厘米9厘米例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。FEDCBA解析我们用割补法，将阴影部分割补成一个半圆形，求出阴影部分面积就可以了。S半圆=10×10×3.14÷2=157平方分米FEDCBA例7.如图所示，空白部分占正方形面积的几分之几？解析将阴影割补成一个长方形，正好占正方形面积的一半。例8.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。4厘米解析看图，我们用割补法，阴影部分的面积等于扇形的面积减去空白三角形的面积。S扇=4×4×3.14÷4=12.56（平方厘米）S△=4×4÷2÷2=4（平方厘米）S阴=12.56-4=8.56（平方厘米）4厘米例9.如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ODFECBA解析我们用割补法。看图，阴影部分的面积就是扇形的面积减去正方形的面积。S扇=8×8×3.14÷4=50.24（平方厘米）S正=8×8÷2=32（平方厘米）50.24-32=18.24（平方厘米）答：阴影部分的面积是18.24平方厘米。ODFECBAA课后作业以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。巧求面积——放大法典型例题精讲例1.图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长20厘米，计算AB的长度。解析解：三角形ABC的面积与半圆形的面积相等半径=20÷2=10厘米10×10×3.14÷2=314÷2=157（平方厘米）所以AB的长为：157×2÷20=15.7（厘米）答：AB的长是15.7厘米．例2.如图所示，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直角三角形BCE的直角边EC为8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。解析：因为CF是平行四边形的高，要想求出CF的长，我们只要求出平行四边形的面积就可以了。根据已知条件，我们可以求出三角形的面积。三角形的面积加10就是平行四边形的面积。解：S平=10×8÷2+10=50（平方厘米）CF=50÷10=5（厘米）答：CF长5厘米。例3.如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。乙甲FECBA解析我们将图甲和图乙放大，同样加上一个空白，就可以得到三角形和一个扇形。因为甲和乙的面积相等，所以，三角形的面积和扇形的面积相等。S△ABC=10×10÷2=50（平方厘米）。S扇=50×8=400（平方厘米）答：扇形所在的圆面积是400平方厘米。乙甲FECBA例4.如图A与B是两个圆（只有四分之一）的圆心。那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？（单位：厘米）21BA22解