奥数全年级一百七十九专题题库教师版425平移旋转割补教师版

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．【例1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，将道路平移后的162102112。【答案】112【例2】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm1cm1cm【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为18012212150，所以阴影小三角形的顶角等于15060230，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166平方厘米．【答案】6【例3】如图所示，梯形ABCD中，AB平行于CD，又4BD，3AC，5ABCD．试求梯形ABCD的面积．DCBAEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如右图，将AB沿AC平移至CE,连接BE,在三角形BDE中，有4BD，3BEAC，5DEABCD，有222BDBEDE，所以三角形BDE为直角三角形．由于ABDABCBCESSS，所以梯形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，为13462．【答案】6【例4】如下图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD厘米，18BD厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？FEDCBAGFEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．【答案】432【例5】如图2，六边形ABCDEF为正六边形，P为对角线CF上一点，若PBC、PEF的面积为3与4，则正六边形ABCDEF的面积是．PFEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题【【解解析析】】这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF，三角形ABF的面积是平行四边形ABFO面积的一半．六边形ABCDEF的面积是平行四边形ABFO的3倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形ABF的面积的6倍．如图（3），连结BF，CE，三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和是平行四边形BFEC面积的一半．而六边形ABCDEF的面积是平行四边形BFEC的1.5倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和的3倍．图（1）OABCDEF图（2）OBACDEF图（3）ABCDEFP所以，由PBC△、PEF△的面积分别为3与4，可知正六边形ABCDEF的面积是(34)321．【答案】21【例6】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．B1B6B5B4B3B2A2A6A5A4A3A1【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题【【解解析析】】如图，设62BA与13BA的交点为O，则图中空白部分由6个与23AOA△一样大小的三角形组成，只要求出了23AOA△的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.OB3B1B2B4B5B6A2A3A6A5A4A1连接63AA、61BB、63BA设116ABB△的面积为“1”，则126BAB△面积为“1”，126AAB△面积为“2”，那么636AAB△面积为126AAB△的2倍，为“4”，梯形1236AAAA的面积为224212，263ABA△的面积为“6”，123BAA△的面积为2根据蝴蝶定理，1263261316BABAABBOAOSS△△∶∶，故21233612167AOABAASS△△，所以231236AAAA121277AOASS△梯形∶∶∶1∶，即23AOA△的面积为梯形1236AAAA面积的17，故为六边形123456AAAAAA面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147，所以阴影部分面积为32009111487(平方厘米).【答案】1148【例7】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．乙甲6432乙甲6432【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm（）（）【答案】11【例8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【答案】13【例9】如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形．当5AB厘米，13BC厘米，12CA厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．PCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780(平方厘米)．【答案】780【例10】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD厘米，7DC厘米，求阴影部分的面积．FEDCBAC'FEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【解析】绕D点逆时针旋转CED，使E与F重合，则C点落在AB边上的'C点处，且'CDCD．则阴影部分面积转化为直角三角形'BCD的面积，所以阴影部分的面积为107235平方厘米．【答案】35【例11】四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形ABCD的面积．DCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△ABD.连接AC．A1IABCD因为∠ABD+∠BDC=9000而∠ABD=∠ADB=900,所以有∠ADB+∠BDC=900．那么ACD为直角三角形,由勾股定理知2AC22ABCD=2500,所以50AC.而在△ABC中,有AB=AD=48,有482+142=2500,即AB2+BC2=AC2,即△ABC为直角三角形．有ACDABCSS130402114489362.而|ABCDS四边形ACDABCSS936.评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下：C1lABCD【答案】936【例12】如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图．在下图中有∠BCA=110°,所以∠ACD=70°于是∠ACC=∠ACD+∠DCC=∠ACD+∠ABC=70°+40°=110°；A1DC1CB1BA即∠ACC=110°=∠CCD；又因为CA只是CA移动的变化,所以CA=CA；则ABCA是一等腰梯形．于是,∠ADC=180°110°=70°；又∠CDC=30°,所以∠ADC=70°30°=40°.【答案】40°【例13】如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA1313121213131212【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理)【答案】144【例14】如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中90BPC，10cmAP，求四边形ABPC的面积．PDCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】因为BAC和BPC都是直角，和为180，所以ABP和ACP的和也为180，可以旋转三角形APC，使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'APP，面积为1010250平方厘米．【答案】50【例15】如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积．53OABCDEF53OABCDE【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】武汉明心奥数【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置．由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB．而OCFOAB，所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上．由于OBOF，90BOFAOC，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为218164．根据面积比例模型，OBC的面积为516108．【答案】10【例16】如图，直角梯形ABCD中，ADBC∥，ABBC，2AD，3BC，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED，连接AE、CE，则ADE的面积是．EDCBAHFEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】武汉明心奥数