2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用

平面向量及其应用【2020年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN→＝ON→－OM→(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例1】（2018年全国卷Ⅱ）已知向量，满足，，则A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为，所以选B.【变式探究】【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(1,),若a||b,则.【答案】-3【解析】由a||b可得【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量，且()abb+，则m（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由(ab)b得，解得m8，故选D.【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→解析∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.答案A【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________．解析MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→，∴x＝12，y＝－16.答案12－16【变式探究】(1)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2(2)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力．【答案】(1)D(2)±3【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等．(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解．(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解．(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．【变式探究】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【解析】如图，DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE→用AB→，AC→表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．题型二、平面向量的数量积【例2】（2018年天津卷）在如图的平面图形中，已知,则的值为A.B.C.D.0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【变式探究】【2017北京，文12】已知点P在圆22=1xy上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则AOAP的最大值为_________．【答案】6【解析】所以最大值是6.【举一反三】(2015·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝()A．－32a2B．－34a2C.34a2D.32a2【变式探究】(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→解析由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，即(AB→＋AC→)·CB→＝0，∴(4a＋b)⊥CB→，即(4a＋b)⊥BC→，故选D.答案D【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B.15C．9D．6解析AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.答案C题型三、平面向量基本定理及其应用例3．（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A.−1B.+1C.2D.2−【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【变式探究】【2017江苏，16】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记()fxab,求()fx的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】（1）5π6x（2）0x时，fx取到最大值3；5π6x时，fx取到最小值23.【解析】（1）因为，，a∥b，所以.若cos0x，则sin0x，与矛盾，故cos0x.于是.又0,πx，所以5π6x.【举一反三】(2015·湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9解析由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，PB→＝(x－2，y)，所以PA→＋PB→＋PC→＝(x－6，y)．故|PA→＋PB→＋PC→|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.答案B【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足OQ→＝2(a＋b)．曲线C＝{P|OP→＝acosθ＋bcosθ，0≤θ2π}，区域Ω＝{P|0r≤|PQ→|≤R，rR}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A．1rR3B．1r3≤RC．r≤1R3D．1r3R解析由已知可设OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ→＝(2，2)，曲线C＝{P|OP→＝(cosθ，sinθ)，0≤θ2π}，即C：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0r≤|PQ→|≤R，rR}表示圆P1：(x－2)2＋(y－2)2＝r2与圆P2：(x－2)2＋(y－2)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1rR3.答案A【举一反三】(2015·江苏，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝2－5＝－3.答案－3