中考必会几何模型圆中的辅助线

DOCBAE圆中的辅助线模型1连半径构造等腰三角形已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．OBA模型分析在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题模型实例如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A．DOCBAE解答：如图，连接OB，∵AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A．∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A．1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A的度数．解答：如图，连接OC、OD．∵∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°．ABOCD图①AOBC又∵AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD，∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A．∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°．∴∠A＝24°．2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM＝MO，求证：则AP＝13BQ．证明：如图，连接OP、OQ．∵PM＝OM，∴∠P＝∠MOP．∵OP＝OQ，∴∠P＝∠Q．∵∠QMO＝2∠MOP，∴∠BOQ＝3∠MOP．∴∠AOP＝13∠BOQ．∴AP＝13BQ．模型2构造直角三角形如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o.如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2+AE2=OA2.ABOQMP模型分析(1)如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.模型实例例1已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求CD的长.解答:如图,过O作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６，∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝12ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60º,OE=2,∴EF=1,OF=3.在Rt△ODF中,222ODDFOF,∴2224(3)DF.∴13DF.∵OF⊥CD,∴CD=2DF=213例2如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45º.(1)求∠EBC的度数;(2)求证:BD=CD.图②EOABEAOBCDCBOADEABODFCE解答（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°．（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．又∵AB＝AC，∴BD＝CD(等腰三角形三线合一性质)．练习1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE＝5，BE＝13，点O到AB的距离为210．求点O到CD距离，线段OE的长即⊙O的半径．解答：如图，连接OB，过O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N．∵AB＝AE＋BE＝5＋13＝18，∴AM＝12AB＝9．又∵OM＝210，∴在Rt△OBM中，BO＝22OMBM＝8140＝11，由图知，四边形ONEM是矩形，∴ON＝EM＝AM－AE＝9－5＝4，∴OE＝22OMBM＝22(210)4＝214．ABCDEO2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作OE⊥AD于点E．求证：OE＝12BC．证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点F，连接DF、BD．∵OE⊥AD，∴AE＝DE．∵OA＝OF，∴OE是△ADF的中位线．∴OE＝12DF．∵AB⊥CD，∴∠ABD＋∠CDB＝90°．∵AF是直径，∴∠ADF＝90°．∴∠DAF＋∠F＝90°．∵∠ABD＝∠F，∴∠CDB＝∠DAF．∴DF＝BC．∴OE＝12BC．3．如图，直径AB＝2，AB、CD交于点E且夹角为45°．则CE2＋DE2＝__________．解答：如图，过点O作OF⊥CD于点F，连接OD．设OF＝a，DF＝b，则在Rt△OFD中，a2＋b2＝1．∴CF＝DF＝b．∵∠BED＝45°，∴OF＝EF＝a．∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2．模型3与圆的切线有关的辅助线ABCDEOABCDEHO模型分析（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是⊙O的切线，点C是切点，连接OC，则OC⊥AB．（2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．模型实例例1如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R．求证：RP＝PQ．证明连接OQ．∵OQ＝OB，∴∠OQB＝∠OBQ．∵RQ为⊙O的切线，OA⊥OB，∴∠BPO＝90°－∠OBQ，∠BQR＝90°－∠OQB．∴∠BPO＝∠QPB＝∠BQR．∴RP＝RQ．例2如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．RBOQAPABCO解答直线DE与⊙O相切，理由如下：连接AO并延长，交⊙O于点F，连接BF．∵∠BAE＝∠C，∠C＝∠F，∴∠BAE＝∠F∵AF为直径，∴∠ABF＝90°．∴∠F＋∠BAF＝90°．∴∠BAE＋∠BAF∴FA⊥DE．又∵AO是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切．小猿热搜1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．求证：DF⊥AC．证明：如图，连接OD．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF．∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥AC．∴∠CFD＝∠ODF＝90°．∴DF⊥AC．2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分∠ACD．求证：CD是⊙O的切线．ABCDEFOABCDEO证明：如图，过O点作OE⊥CD于点E．∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC．∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴OA＝OE．∴CD是⊙O的切线．3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是BC的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA＝∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．证明：如图，连接OE交BC于点F，连接OD．∵E是是BC的中点，∴OE⊥BC．∴∠E＋∠EMF＝90°．∵∠EDA＝∠AMD，∠AMD＝∠EMF，∴∠ADM＋∠E＝90°．∵OE＝OD，∴∠E＝∠ODE．∴∠ODE＋∠ADM＝90°，即∠ODA＝90°．∴OD⊥AD．∴AD是⊙O的切线．ABCDEMOABCDO赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,xx，且12xx．令2()fxaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：2bxa③判别式：④端点函数值符号．①k＜x1≤x2xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf②x1≤x2＜kxy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf③x1＜k＜x2af(k)＜00)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf④k1＜x1≤x2＜k2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)fxaxbxca在闭区间[,]pq上的最值设()fx在区间[,]pq上的最大值为M，最小值为m，令01()2xpq．（Ⅰ）当0a时（开口向上）①若2bpa，则()mfp②若2bpqa，则()2bmfa③若2bqa，则()mfqxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa①若02bxa，则()Mfq②02bxa，则()Mfp(Ⅱ)当0a时(开口向下)①若2bpa，则()Mfp②若2bpqa，则()2bMfa③若2bqa，则()Mfq①若02bxa，则()mfq②02bxa，则()mfp．xy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0x