中考必会几何模型相似模型

相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12OFOEODOAOCOB．解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴12DEBC．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴12OEDEOCBC．同理：12OFOA，12ODOB．∴12OFOEODOAOCOB．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴12GFBFADBC．∵AD＝CD，∴12GFAD．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴12OFGFOAAD．同理12OEOC，12ODOB．∴12OFOEODOAOCOB．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BFA∴12HDDFHFABAFFB，∴HD＝1．5a，13FHBH，∴FH＝13BH∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.5324HGHDaGBEBa，∴47BGHB∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBGBH跟踪练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15DEAC∵DE//AC，∴15BEDEBCAC，∴14BEBC，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=12BC，∴G为AF中点∴12EGBF，12EGOEDEFCOCBC，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：ABACBDCD．方法一：过点C�CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴ABBDCECD∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴ABBDACCD方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，12ABDSBDh，12ACDSCDh过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则12ABDSABDE，12ACDSACDF11221122ABDACDBDhABDESSCDhACDF，又∵1=2，∴DE=DF，∴ABBDACCD5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF∵AE：EB=2：1，∴BF=12AC=12BC=CD，又AC=CB，∠ACD=∠CBF=90°∴△ACD≌△CBF，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°∴∠4=90°，∴CE⊥AD模型2共边共角型已知：∠1=∠2结论：△ACD∽△ABCDACB12模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC进而可以得到：AC2=ADAB模型实例例1如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为．ACDB解答：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA．∵AB=4，AD=2，∴14ACDABCSS，∴13ACDABDSS，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5例2如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD（3）求证：ABAC=BCADDCBA解答（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴ABBDBCAB．∴AB2=BDBC，∵△ACD∽△BCA∴ACCDCBAC．∴AC2=CDCB，∵△ABD∽△CAD，∴ADBDCDAD，∴AD2=BCCD（3）1122ABCSABACBCAD，∴ABAC=BCAD跟踪练习：1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有．①∠B=∠DAC②∠BAC=∠ADC③AC2=DCBC④AD2=BDBCBDCA【答案】①②③2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．CNMBA【答案】证明：∵∠BAC=120o，∴∠B+∠C=60o.∵△AMN是等边三角形，∴∠B+∠1=∠AMN=60o，∠C+∠2=∠ANM=60o.∴∠1=∠C，∠2=∠B.(1)∵∠1=∠C，∠B=∠B，∴△BAM∽△BCA.∴BMABABBC.∴AB2=BMBC（2）∵∠2=∠B，∠C=∠C，∴△CAN∽△CBA.∴CNACACCB.∴AC2=CNCB（3）∵∠1=∠C，∠2=∠B，∴△BAM∽△ACN.∴BMAMANCN.∴BMCN=ANAM∵AN=AM=MN，∴AB2=BMBC3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CD⊥AB于D，AC=210，AD:DB=4:1．求CD的长．ODCBA【答案】连接BC，设AD=4x，则DB=x.∴AB=5x.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90o又∵CD⊥AB.∴△ACD∽△ABC.∴AC2=ADAB，即2(210)45xx，解得：x=2（舍负）.∴AD=42.∴CD=2222ACAD4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE=2CE，求OF的长．图①DCBA【答案】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90o.∴BC2=BOBD.∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE.∴BOBD=BFBE.即BOBFBEBD，又∵∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED.（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，BE=2226=210，在Rt△OBC中，OB=2322BC，∵△BOF∽△BED，∴OFBODEBE，即324210OF，∴655OF.模型3一线三等角型已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D结论：△ABC∽△CDE模型分析如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型实例例1如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=23．则△ABC的边长为．60oDPCBA解答∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60o．∵∠APC=∠B＋∠BAP，即∠APD＋∠DPC=∠B＋∠BAP，又∵∠APD=∠B=60o，∴∠DPC=∠BAP．又∵∠B=∠C，∴△PCD∽△ABP．∴DCPCBPAB．设AB=x，则PC=x－1，2131xx，解得x=3．例2如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有个．PCBDA解答设AP＝x，则有PB＝AB－AP＝7－x，当△PDA∽△CPB时，DAPBAPBC，即273xx，解得：1x或6x，当△PDA∽△PCB时，ADAPBCPB，即237xx，解得：145x，则这样的的点P共有3个．练习：1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EDCBA1.解答：0(1)901ABCBACABAC中，，，045.ABCACB045ADE，0135BDACDE，0135BDABAD又，.BADCDE.ABDDCE22222,.,2.1.22.1(2)21.21ABDDCEABBDCDCEBDxCDBCBDxxCExCExxAEACCExxxxyxx（）即（3）当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE.,.1.21.,22.ABDDCEABDDCECDABBDBDCEAEACCE又当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA.0045,90.ADEDEA此时有即△ADE为等腰直角三角形.11.22AEDEAC当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去.122.2AE因此的长为或2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，且4cos5．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD等于8或252；④06.4≤CE其中正确的结论是．（把你认为正确的序号都填上）2.解答：1,.,..ABACBCADEBADECADEACD（）又故①正确.4210,,cos.542cos21016.56,10..,().ABACADEBaaBCABBBDDCABDCABDDCEBADCDEBCABDCABDDCEASA（）在和中故②正确.（3）当∠AED=900时，由可知：△ADE∽△ACD.∴∠ADC=∠AED.∵∠AED=900，∴∠ADC=900.即AD⊥BC.∵AB=AC，∴BD=CD.4cos108.5ADEBaaABBD且，，当∠CDE=900时，易得△CDE∽△BAD.004cos108.59090.4cos,10,54cos.525.2ADEBaaABBDCDEBADBaaABABBBDBD且，，，且故③正确.（4）易证△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，22,,.10.1616646410.(8)6410.06.4BDyCExABBDDCCEyyxyyxyxx设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.PABDCO3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形A